構成子空間W2j的正交標準基，而它們的伸縮平移系（簡寫）為：
是L2（R2）的一個標準正交基。在本系統中，通過與計算機相連的手寫板及電子筆將簽名采集到計算機并顯示在屏幕上。采集并輸入到計算機中的圖像是二維，本文中設要分解的圖像為f (x,y)ΕL2(R2)。為方便，設L2（R2）-V2N，即令fN是f在V2N的正交投影。這樣關于f的有限小波分解就是對fN的分解。由于:
假定{V2j}jez上的尺度函數Φj,Φj(x,y)=2jΦ(2jx,2jy)為二維MAR{V2j}jez的尺度函數，小波函數ψ(α)j, α=1,2,3已分別由式(1)和式(2)給出，并由陣列{CNk1,k2},(k1,k1ΕZ2)，使得：
其中，Cn,k1,k2=<fN,N,k1,k2>同樣，有：
式中（6），j=N-1,Λ,N-M。fj是fN在f2j上的低通濾波信號，而gαj, α=1,2,3是fN在W2j上的三個高通濾波細節。再設有限長序列{Pk1}、{Pk2}分別是平面(x,y)上x方向與y方向的高通濾波系數，{gk1}與{gk2}分別是x方向與y方向的低通濾波系數，則由式（6）得到：
上式中箭頭右部分是左部分的矩陣表示，其中CN是原始信號f(x,y)的分布陣列，PR、Pc是分別對CN的行與列作低通濾波的算子，而Qr、Qc是分別對CN的行與列作高通濾波的算子。而進一步地第j次分解應為：
式(7)中，j=N-2, Λ,N-M。式(7)便是二維信號fN或CN的有限正交小波分解的Mallat塔式算法[5]。通過實驗，選用Daubechies 8小波能達到較好的分解效果。對采集進入計算機的真實簽名與偽造簽名進行小波分解，限于遍幅，本文只給出了真實簽名的一次分解圖，如圖書1所示。通常在實驗中，借助Matlab6.5將真假簽名的字符圖像通過兩個互補濾波器即低通濾波器和高通濾波器分別得到圖像的相似和細節部分。相似子圖主要是原始圖像的全局、低頻成分，而細節子圖通常是原始圖像的局部、高頻成分。細節子圖又包括水平子圖、斜向子圖和垂直子圖三部分。其中細節子圖經過兩次濾波：水平方向答應低頻分量通過，而沿垂直方向答應高頻分量通過。這對橫向筆劃（灰度變化沿水平方向為低頻，沿垂直方向為高頻）是增強，而對豎筆劃（灰度變化沿水平方向為高頻，沿垂直方向為低頻）是平滑。垂直方向和斜方向的像素按同樣的道理分別在垂直子圖和斜子圖中被突出表示。這種方向選擇性與人眼視覺特性相吻合，使建立在此基礎上的特征提以算法具有類視覺特性。
。設f(x,y)為二值圖像函數，由線性系統中卷積和微分的可交換性，得??2{G(x,y)хI(x,y)}={ ??2G (x,y)} хI(x,y)，即：對圖像的高斯平滑濾波與拉普拉斯微分運算可結合成一個卷積子如下：
用上述算子卷積圖像，通過判定符號的變化確定出零交叉點的位置，就是邊緣點。對小波一次分解后的真實簽名的處理結果如圖2所示。通過圖2可以看出，Marr零交叉邊緣算子同時提取了強、弱邊緣，并且邊緣相對干凈，噪聲干擾少，連續性好。3 基于判別熵最小化的特征提取不同的類樣本占有不同的特征空間的區域，只要這些區域不相交疊，它們就可以分開。經常用樣本間的平均距離作為特征提取的判據函數。重要的距離有Minkowski度量ΔM、歐氏距離δE、Chebychev距離δr、平方距離δQ和非線性度量δN等。在不考慮各類的概率分布時，不能確切地表達各類的交疊狀況，且不能直接表達錯誤率。為此，應考慮概率距離，利用不確定性最小的分征進行分類是最有利的，故可用熵來度量后驗證概率分布的集中程序。某此概率分布密度偏離給定標準分布的程度的度量，叫相對熵。本文假定經小波和Marr算子處理后的圖像函數?(xi,yj)的概率分布為P(xi,yj)，給定標準分布ω(xi,yj)，則兩者之間的相對熵為：求和應在該特征所有可能的取值上進行。相對熵越小，這兩類概率分布的差別就越大，當兩類概率分別完全相同時，相對熵達最大值（等于零）。因此可以定義判別熵W（p,q）來表征兩類分布p(xi,yj)和q(xi,yi)的差別大小。
在多類情況下，可以用ΣnΣmW(p(n),q(m))表示各類分布之間的分離程度。這里n,m代表類別號。對特征提取來說，在給定維數d的條件下，求得這樣d個特征，它使上述判別熵最小。為了計算方便，本文用下列函數-U(p,q)= ΣiΣj(pi,j-qij)2≤0代替W(p,q)，而不影響選取d個最優特征的結果。在不對概率分布作估計的情況下，可以用經過歸一化處理的樣本特征值代替上式中的概率分布。
K是第一類樣本集中的樣本號，N1是第一類的樣本總數，i是特征號。由于
，這樣做是合理的。而U取最小值的坐標系統工程是由矩陣A=G(1)-G(2)滿足一定條件的d個本征值相應的本征向量組成的。這里G(1)和G(2)分別是第一類樣本集和第二類本集的協方差矩陣。即將矩陣A的本征向量uk對應的本征值λk,k=1,2,ΛD排隊：
選取本征值對應的本征向量為所要求的坐標軸系統，在這個坐標系統中判別熵最小。在實驗中選取Shannon熵。表1和表2分別列出了真實簽名和偽造簽名分解后的各尺度圖像的最小判別熵。由表1和表2的計算數據可以看出，通過小波一次分解后的最小判別熵的數據可以很明顯地對真假簽名進行鑒別。并且，相似圖形與細節圖形的最小判別熵相差甚遠，區別較大；而細節圖形中的水平子圖、斜向子圖和垂直子圖三部分的最小判別熵卻相差較小。因此，這樣提取的特征向量穩定性好、區別性大、正確性高。新聞熱點
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