篩選法的C++實(shí)現(xiàn)

2020-01-26 15:43:22

字體：大中小

供稿：網(wǎng)友

篩選法

介紹：
篩選法又稱篩法，是求不超過自然數(shù)N（N>1）的所有質(zhì)數(shù)的一種方法。據(jù)說是古希臘的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，約公元前274～194年）發(fā)明的，又稱埃拉托斯特尼篩子。

具體做法是：先把N個(gè)自然數(shù)按次序排列起來。1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，要?jiǎng)澣ァ５诙€(gè)數(shù)2是質(zhì)數(shù)留下來，而把2后面所有能被2整除的數(shù)都劃去。2后面第一個(gè)沒劃去的數(shù)是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的數(shù)都劃去。3后面第一個(gè)沒劃去的數(shù)是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的數(shù)都劃去。這樣一直做下去，就會(huì)把不超過N的全部合數(shù)都篩掉，留下的就是不超過N的全部質(zhì)數(shù)。因?yàn)橄ＥD人是把數(shù)寫在涂臘的板上，每要?jiǎng)澣ヒ粋€(gè)數(shù)，就在上面記以小點(diǎn)，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小點(diǎn)就像一個(gè)篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼篩”，簡稱“篩法”。（另一種解釋是當(dāng)時(shí)的數(shù)寫在紙草上，每要?jiǎng)澣ヒ粋€(gè)數(shù)，就把這個(gè)數(shù)挖去，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小洞就像一個(gè)篩子。）

用C++實(shí)現(xiàn)篩選法：
以通過篩選法求100以內(nèi)的素?cái)?shù)為例

復(fù)制代碼代碼如下:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數(shù)組，是為了和自然數(shù)相對(duì)應(yīng)，即：a[2]對(duì)應(yīng)自然數(shù)2
 for(i=2;i<100;i++) 
     a[i]=1;//完成對(duì)數(shù)組的初始化操作
 for(i=2;i<100;i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對(duì)相應(yīng)的倍數(shù)進(jìn)行排除 
  }
 } 
 //執(zhí)行輸出操作 
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'/t';
 } 
 cout<<endl;
 return 0;
} 

一些思考和優(yōu)化
以前學(xué)習(xí)計(jì)算素?cái)?shù)的算法的時(shí)候，有一個(gè)比較普遍的優(yōu)化的算法。

也就是用

復(fù)制代碼代碼如下:

for(i=1;i<(j/2);i++)

或者

復(fù)制代碼代碼如下:

for(i=1;i<sqrt(j);i++)//使用sqrt()函數(shù)需要引入math.h這個(gè)頭文件

來替代

復(fù)制代碼代碼如下:

for(i=1;i<j;i++)

可以顯著的降低算法的復(fù)雜度

一開始直接使用，不知道是什么原理。后來看了看，原來原理是這樣的：

以sqrt(j)代替i為例

求素?cái)?shù)最基本的方法，是用i去除以2到j(luò)-1之間的所有的整數(shù)，如果有可以整除的情況，則不是素?cái)?shù)；如果都不可以整除，則是素?cái)?shù)。

而i=sqrt(j)*sqrt(j)

我們用i去除以2到sqrt(j)之間的所有的整數(shù)，這就可以覆蓋2到i-1之間的所有的整數(shù)。

設(shè)2<k<sqrt(j)，則若j%k==0，則sqrt(j)<m=(j%k)<j-1。

也就是說，因?yàn)槭浅ㄟ\(yùn)算求整除的運(yùn)算，所以除以小的可以整除，可就是除以相應(yīng)的大的可以整除。

優(yōu)化之后的代碼：

復(fù)制代碼代碼如下:

#include<iostream>
#include<math.h> 
using namespace std;
int main()
{
 int i,j,a[101];//這里定義101大小的數(shù)組，是為了和自然數(shù)相對(duì)應(yīng)，即：a[2]對(duì)應(yīng)自然數(shù)2
 for(i=2;i<100;i++) 
     a[i]=1;//完成對(duì)數(shù)組的初始化操作
 for(i=2;i<sqrt(100);i++){
  for(j=2*i;j<100;j+=i){
   a[j]=0;//對(duì)相應(yīng)的倍數(shù)進(jìn)行排除 
  }
 } 
 //執(zhí)行輸出操作 
 for(i=2;i<100;i++){
  if(a[i])
  cout<<i<<'/t';
 } 
 cout<<endl;
 return 0;
}