前面的文章已經介紹了幾種排序算法，如插入排序（直接插入排序，折半插入排序，希爾排序）、交換排序（冒泡排序，快速排序）、選擇排序（簡單選擇排序，堆排序）、2-路歸并排序（可以參考前一篇文章：各種內部排序算法的實現）等，這些排序算法都有一個共同的特點，就是基于比較。
本文將介紹三種非比較的排序算法：計數排序，基數排序，桶排序。它們將突破比較排序的Ω(nlgn)下界，以線性時間運行。
一、比較排序算法的時間下界
所謂的比較排序是指通過比較來決定元素間的相對次序。
“定理：對于含n個元素的一個輸入序列，任何比較排序算法在最壞情況下，都需要做Ω(nlgn)次比較。”
也就是說，比較排序算法的運行速度不會快于nlgn，這就是基于比較的排序算法的時間下界。
通過決策樹（Decision-Tree）可以證明這個定理，關于決策樹的定義以及證明過程在這里就不贅述了。讀者可以自己去查找資料，這里推薦大家看一看麻省理工學院公開課：算法導論的《MIT公開課：線性時間排序》。
根據上面的定理，我們知道任何比較排序算法的運行時間不會快于nlgn。那么我們是否可以突破這個限制呢？當然可以，接下來我們將介紹三種線性時間的排序算法，它們都不是通過比較來排序的，因此，下界Ω(nlgn)對它們不適用。
二、計數排序（Counting Sort）
計數排序的基本思想就是對每一個輸入元素x，確定小于x的元素的個數，這樣就可以把x直接放在它在最終輸出數組的位置上，例如：
算法的步驟大致如下：
①.找出待排序的數組中最大和最小的元素
②.統計數組中每個值為i的元素出現的次數，存入數組C的第i項
③.對所有的計數累加（從C中的第一個元素開始，每一項和前一項相加）
④.反向填充目標數組：將每個元素i放在新數組的第C(i)項，每放一個元素就將C(i)減去1
C++代碼如下：
/************************************************************************* > File Name: CountingSort.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> using namespace std; /* *計數排序：A和B為待排和目標數組，k為數組中最大值,len為數組長度 */ void CountingSort(int A[], int B[], int k, int len) { int C[k+1]; for(int i=0; i<k+1; ++i) C[i] = 0; for(int i=0; i<len; ++i) C[A[i]] += 1; for(int i=1; i<k+1; ++i) C[i] = C[i] + C[i-1]; for(int i=len-1; i>=0; --i) { B[C[A[i]]-1] = A[i]; C[A[i]] -= 1; } } /* 輸出數組 */ void print(int arr[], int len) { for(int i=0; i<len; ++i) cout << arr[i] << " "; cout << endl; } /* 測試 */ int main() { int origin[8] = {4,5,3,0,2,1,15,6}; int result[8]; print(origin, 8); CountingSort(origin, result, 15, 8); print(result, 8); return 0; }當輸入的元素是0到k之間的整數時，時間復雜度是O(n+k)，空間復雜度也是O(n+k)。當k不是很大并且序列比較集中時，計數排序是一個很有效的排序算法。計數排序是一個穩定的排序算法。
可能你會發現，計數排序似乎饒了點彎子，比如當我們剛剛統計出C，C[i]可以表示A中值為i的元素的個數，此時我們直接順序地掃描C，就可以求出排序后的結果。的確是這樣，不過這種方法不再是計數排序，而是桶排序，確切地說，是桶排序的一種特殊情況。
三、桶排序（Bucket Sort）
桶排序（Bucket Sort）的思想是將數組分到有限數量的桶子里。每個桶子再個別排序（有可能再使用別的排序算法）。當要被排序的數組內的數值是均勻分配的時候，桶排序可以以線性時間運行。桶排序過程動畫演示：Bucket Sort，桶排序原理圖如下：
C++代碼如下：
/************************************************************************* > File Name: BucketSort.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> using namespace std; /* 節點 */ struct node { int value; node* next; }; /* 桶排序 */ void BucketSort(int A[], int max, int len) { node bucket[len]; int count=0; for(int i=0; i<len; ++i) { bucket[i].value = 0; bucket[i].next = NULL; } for(int i=0; i<len; ++i) { node *ist = new node(); ist->value = A[i]; ist->next = NULL; int idx = A[i]*len/(max+1); // 計算索引 if(bucket[idx].next == NULL) { bucket[idx].next = ist; } else /* 按大小順序插入鏈表相應位置 */ { node *p = &bucket[idx]; node *q = p->next; while(q!=NULL && q->value <= A[i]) { p = q; q = p->next; } ist->next = q; p->next = ist; } } for(int i=0; i<len; ++i) { node *p = bucket[i].next; if(p == NULL) continue; while(p!= NULL) { A[count++] = p->value; p = p->next; } } } /* 輸出數組 */ void print(int A[], int len) { for(int i=0; i<len; ++i) cout << A[i] << " "; cout << endl; } /* 測試 */ int main() { int row[11] = {24,37,44,12,89,93,77,61,58,3,100}; print(row, 11); BucketSort(row, 235, 11); print(row, 11); return 0; } 四、基數排序（Radix Sort）
基數排序（Radix Sort）是一種非比較型排序算法，它將整數按位數切割成不同的數字，然后按每個位分別進行排序。基數排序的方式可以采用MSD（Most significant digital）或LSD（Least significant digital），MSD是從最高有效位開始排序，而LSD是從最低有效位開始排序。
當然我們可以采用MSD方式排序，按最高有效位進行排序，將最高有效位相同的放到一堆，然后再按下一個有效位對每個堆中的數遞歸地排序，最后再將結果合并起來。但是，這樣會產生很多中間堆。所以，通常基數排序采用的是LSD方式。
LSD基數排序實現的基本思路是將所有待比較數值（正整數）統一為同樣的數位長度，數位較短的數前面補零。然后，從最低位開始，依次進行一次排序。這樣從最低位排序一直到最高位排序完成以后, 數列就變成一個有序序列。需要注意的是，對每一個數位進行排序的算法必須是穩定的，否則就會取消前一次排序的結果。通常我們使用計數排序或者桶排序作為基數排序的輔助算法。基數排序過程動畫演示：Radix Sort
C++實現（使用計數排序）如下：
/************************************************************************* > File Name: RadixSort.cpp > Author: SongLee ************************************************************************/ #include<iostream> using namespace std; // 找出整數num第n位的數字 int findIt(int num, int n) { int power = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { power *= 10; } return (num % power) * 10 / power; } // 基數排序（使用計數排序作為輔助） void RadixSort(int A[], int len, int k) { for(int i=1; i<=k; ++i) { int C[10] = {0}; // 計數數組 int B[len]; // 結果數組 for(int j=0; j<len; ++j) { int d = findIt(A[j], i); C[d] += 1; } for(int j=1; j<10; ++j) C[j] = C[j] + C[j-1]; for(int j=len-1; j>=0; --j) { int d = findIt(A[j], i); C[d] -= 1; B[C[d]] = A[j]; } // 將B中排好序的拷貝到A中 for(int j=0; j<len; ++j) A[j] = B[j]; } } // 輸出數組 void print(int A[], int len) { for(int i=0; i<len; ++i) cout << A[i] << " "; cout << endl; } // 測試 int main() { int A[8] = {332, 653, 632, 5, 755, 433, 722, 48}; print(A, 8); RadixSort(A, 8, 3); print(A, 8); return 0; }基數排序的時間復雜度是 O(k?n)，其中n是排序元素個數，k是數字位數。注意這不是說這個時間復雜度一定優于O(nlgn)，因為n可能具有比較大的系數k。
另外，基數排序不僅可以對整數排序，也可以對有多個關鍵字域的記錄進行排序。例如，根據三個關鍵字年、月、日來對日期進行排序。
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