算法介紹

迪杰斯特拉算法是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。迪杰斯特拉算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計算的節(jié)點很多，所以效率低。

算法思想

按路徑長度遞增次序產生算法：

　把頂點集合V分成兩組：

　　（1）S：已求出的頂點的集合（初始時只含有源點V0）

　　（2）V-S=T：尚未確定的頂點集合
　　將T中頂點按遞增的次序加入到S中，保證：

　　（1）從源點V0到S中其他各頂點的長度都不大于從V0到T中任何頂點的最短路徑長度

　　（2）每個頂點對應一個距離值

　　S中頂點：從V0到此頂點的長度

　　T中頂點：從V0到此頂點的只包括S中頂點作中間頂點的最短路徑長度

　　依據：可以證明V0到T中頂點Vk的，或是從V0到Vk的直接路徑的權值；或是從V0經S中頂點到Vk的路徑權值之和

應用舉例

（1）題目：編寫一個校園導游程序，為來訪的客人提供各種信息查詢服務。

　　　　主要功能：1.設計學校的校園平面圖，所含景點不少于10個：頂點表示景點，邊表示路徑等；

　　　　　　　　　2.為客人提供圖中任意景點相關信息的查詢；

　　　　　　　　　3.為客人提供圖中任意景點的問路查詢，即查詢人以景點間的一條最短路徑。

　　　　　　要求：1.設計一個主界面；

　　　　　　        2.設計功能菜單，供用戶選擇

　　　　　　        3.有一定的實用性。

（2）設計思路：

　　1、該題主要有算法思路以及程序的邏輯思路，首先從邏輯思路講，進入程序，首先設計一個主菜單，選項有景點信息查詢，最短路徑查詢以及顯示景點的平面視圖三個子菜單，然后根據用戶的輸入選擇的子菜單前的編號，分進入不同的子菜單；該功能是由if….else if…. 語句實現(xiàn)。在景點信息查詢和最短路徑查詢子菜單下還有二級子菜　單，都是列 出所有景點并在前面編號，查詢景點信息時，輸入景點前面的編號即可，查詢最短路徑時，先輸入起點的編號，再輸入終點的編號。而顯示景點視圖則調用景點平面圖函數即可顯 示。

　　2、算法思路主要是迪杰斯特拉算法的思路，利用迪杰斯特拉算法求最短路徑。

　　3、先定義好圖的儲存結構，本題采用鄰接矩陣的方式來表示圖，并在主函數中初始化該圖；

　　4、定義三個全局一維數組，一個bool類型數組S[]用來記錄從v0到vi是否已經確定了最短路徑，是則記S[i]=true ,否記S[i]= flase；一個int 類型數組Path[]用來記錄從v0到vi的當前最短路徑上的vi的直接前驅頂點編號，若v 到vi之間有邊則記Path[i] = v的編號，否則記Path[i] = -1；最后一個數組D[]用來記錄從v0到vi之間的最短路徑長度，存在則記v0到vi之間邊的權值或者權值和，否則記為MAX

　　5、定義一個求最短路徑的函數，傳入的參數為圖和起點，首先進行初始化工作，初始化S[]數組全為false，D[]數組初始化為起點到各個頂點的權值，Path[]數組初始化為起點是否與各頂點有邊，有則記v0否則記-1；

　　6、然后進行n-1次for循環(huán)，找出vo到其余n-1個頂點之間的最短路徑，比較當前D[]數組中最小值，找到最小值的編號v，該編號就是從v0出發(fā)到所有頂點中距離最短的頂點編號，然后把S[v]的值置為true。說明從v0出發(fā)到頂點v已經找到最短路徑；

　　7、接著就要更新D[]數組，因為D[]數組是記錄最短路徑的，現(xiàn)在已經找到了一個頂點的最短路徑，已該頂點v為中間點，判斷從該頂點v出發(fā)到剩下的頂點的路徑長度加上該點到v0的路徑長度是否小于直接從v0出發(fā)到其余頂點的路徑長度，如果小于，則更新D[i]為以該頂點v為中間點求得的路徑長度。更新Path[i] = v；即i的前驅不再是v0而是v;

　　8、循環(huán)（6）（7）兩步n-1次即可得到D[]數組，輸出D[]數組既是v0到所有頂點的最短路徑長度；

（3）源代碼：

#include<iostream>#include<fstream>#include<string>using namespace std;/** *作者：Dmego *時間：2016-12-12 */#define MAX 1000000 //表示極大值∞#define max 10bool S[max]; //記錄從源點V0到終點Vi是否已經確定為最短路徑，確定了記true，否則記falseint Path[max]; //記錄從源點V0到終點Vi的當前最短路徑上終點Vi的直接前驅頂點序號，若V0到Vi之間有邊前驅為V0否則為-1 int D[max]; //記錄源點到終點之間最短路徑的長度，存在記V0到Vi的邊的權值，否則記為MAX typedef struct{ string vexs[max]; //頂點表 int arcs[max][max]; //鄰接矩陣  int vexnum, arcnum; //圖當前點數和邊數}AMGraph;//利用迪杰斯特拉算法求最短路徑void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0){//使用迪杰斯特拉算法求有向網G中的V0 定點到其余頂點的最短路徑 int n = G.vexnum;//頂點數 for (int v = 0; v < n; v++)//n個頂點依次初始化 { S[v] = false;//S初始化為空集 D[v] = G.arcs[v0][v];//將v0到各個終點的最短路徑長度初始化為邊上的權值 if (D[v] < MAX)  Path[v] = v0;//如果v0和v之間有邊，則將v的前驅初始化為v0 else  Path[v] = -1;//如果v0和v之間無邊，則將v的前驅初始化為-1 } S[v0] = true; //將v0加入s D[v0] = 0;//源點到源點的權值為0 //---------初始化結束，開始主循環(huán)，每次求得v0到某個頂點的最短路徑，將v加到S數組 for (int i = 1; i < n; i++)//依次對其余n-1個頂點進行計算 { int min = MAX; int v = v0; for (int w = 0; w < n; w++) {  if (!S[w] && D[w] < min)  {//選擇一條當前最短路徑，終點為v  v = w;  min = D[w];  }  S[v] = true;//將v加到s集合中  for (int w = 0; w < n; w++)  {//更新從v0出發(fā)到集合V-S上所有頂點的最短路徑長度  if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]))  {   D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]   Path[w] = v;//更改w的前驅為v  }  } } }}//背景函數void backGround(){ cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << " |------------------------鐵大旅游景點圖-----------------|" << endl; cout << "|*****************************************************************|" << endl; cout << "|  ⑦      單位：米 |" << endl; cout << "|  九教       |" << endl; cout << "|  ◎     ⑧  |" << endl; cout << "|  

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