“備忘”的定義

“memoization”（備忘）這個詞是由Donald Michie在1968年提出的，它基于拉丁語單詞“memorandum”（備忘錄），意思是“被記住”。雖然它和單詞“memorization”在某種程度上有些相似，但它并不是該單詞的錯誤拼寫。實際上，Memoisation是一種用于通過計算來加速程序的技術(shù)，它通過記住輸入量的計算結(jié)果，例如函數(shù)調(diào)用結(jié)果，來實現(xiàn)其加速目的。如果遇到相同的輸入或者具有相同參數(shù)的函數(shù)調(diào)用，那么之前存儲的結(jié)果就可以被再次使用，從而避免一些不必要的計算。在很多情況下，可以使用一個簡單的數(shù)組來存儲結(jié)果，但也可以使用許多其他的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如關(guān)聯(lián)數(shù)組，它在Perl語言中叫做哈希，在Python語言中稱為字典。

備忘功能可以由程序員顯式地編程實現(xiàn)，但是一些編程語言如Python，都提供了自動備忘函數(shù)的機制。
利用函數(shù)裝飾器實現(xiàn)備忘功能

在前面關(guān)于遞歸函數(shù)的那章中，我們分別使用迭代和遞歸實現(xiàn)了斐波納契數(shù)列的求解。我們已經(jīng)證明，如果直接利用斐波納契數(shù)列的數(shù)學(xué)定義，在一個遞歸函數(shù)中實現(xiàn)數(shù)列的求解，正如下面的函數(shù)一樣，那么它將具有指數(shù)級的時間復(fù)雜度：
 

def fib(n):  if n == 0:    return 0  elif n == 1:    return 1  else:    return fib(n-1) + fib(n-2)

此外，我們還提出了一種提高遞歸實現(xiàn)的時間復(fù)雜度的方法，即通過添加一個字典來記住之前函數(shù)的計算結(jié)果。這是一個顯式地使用備忘技術(shù)的例子，只是當時我們并沒有這么稱呼它。這種方法的缺點是，原始遞歸實現(xiàn)的明晰性和優(yōu)雅性丟失了。

造成以上缺點的原因是，我們改變了遞歸函數(shù)fib的代碼。不過下面的代碼不會改變我們的fib函數(shù)，所以它的明晰性和易讀性并沒有丟失。為了實現(xiàn)該目的，我們使用自定義的函數(shù)memoize()。函數(shù)memoize()以函數(shù)作為參數(shù)，并使用一個字典“memo”來存儲函數(shù)的結(jié)果。雖然變量“memo”和函數(shù)“f”僅僅具有局部備忘功能，但是它們通過函數(shù)“helper”被一個閉包捕獲，而memoize()將函數(shù)“helper”作為引用返回。所以，對memoize(fib)的調(diào)用將會返回一個helper()的引用，而在helper()中實現(xiàn)了fib()函數(shù)的功能以及一個用于保存還未存儲的結(jié)果到字典“memo”中的包裝器，并防止重新計算“memo”中已有的結(jié)果。
 

def memoize(f):  memo = {}  def helper(x):    if x not in memo:            memo[x] = f(x)    return memo[x]  return helper def fib(n):  if n == 0:    return 0  elif n == 1:    return 1  else:    return fib(n-1) + fib(n-2) fib = memoize(fib) print(fib(40))

現(xiàn)在讓我們了解下所謂的裝飾器，首先看一下上面代碼中將備忘功能指派到fib函數(shù)的這一行：
 

fib = memoize(fib)

一種說法是，函數(shù)memoize()裝飾了函數(shù)fib。
將Memoize封裝成類

我們還可以將結(jié)果的緩存封裝到一個類中，如下面的例子所示：

 class Memoize:  def __init__(self, fn):    self.fn = fn    self.memo = {}  def __call__(self, *args):    if args not in self.memo:  self.memo[args] = self.fn(*args)    return self.memo[args]

因為我們使用了字典，所以不能使用可變參數(shù)，即參數(shù)必須是不可變的。
Python中的裝飾器

Python中的裝飾器是一個可調(diào)用的Python對象，用于修改一個函數(shù)、方法或者類的定義。原始的對象，也就是即將被改變的那個對象，作為參數(shù)傳遞給一個裝飾器，而裝飾器則返回一個修改過的對象，例如一個修改過的函數(shù)，它會被綁定到定義中使用的名字上。Python中的裝飾器與Java中的注解有一個相似的語法，即Python中的裝飾器語法可以看作是純粹的語法糖，使用“@”作為關(guān)鍵字。
示例：使用裝飾器實現(xiàn)備忘功能

其實，前面我們已經(jīng)使用了裝飾器，只是沒有這么稱呼它而已。實際上，本章開頭例子中的memoize函數(shù)就是一個裝飾器，我們使用它來記住fib函數(shù)的結(jié)果，只是我們沒有使用Python中裝飾器特殊的語法而已，即艾特字符“@”。

相比于寫成下面的形式
 

fib = memoize(fib)

我們可以這樣寫
 

@memoize

但這一行必須直接寫在被裝飾的函數(shù)之前，在我們的例子fib()中，如下所示：
 

def memoize(f):  memo = {}  def helper(x):    if x not in memo:            memo[x] = f(x)    return memo[x]  return helper @memoizedef fib(n):  if n == 0:    return 0  elif n == 1:    return 1  else:    return fib(n-1) + fib(n-2) #fib = memoize(fib) print(fib(40))

在講解遞歸函數(shù)的那章中我們介紹了階乘函數(shù)，在那里我們希望保持函數(shù)盡可能簡單，而不想掩蓋基本理念，所以代碼中沒有包含任何參數(shù)檢查代碼。然而，如果別人以負數(shù)或者浮點數(shù)作為參數(shù)來調(diào)用我們的函數(shù)，那么函數(shù)將會陷入一個死循環(huán)。

下面的程序使用一個裝飾器函數(shù)來確保傳給函數(shù)“factorial”的參數(shù)是一個正整數(shù)：
 

def argument_test_natural_number(f):  def helper(x):    if type(x) == int and x > 0:      return f(x)    else:      raise Exception("Argument is not an integer")  return helper @argument_test_natural_numberdef factorial(n):  if n == 1:    return 1  else:    return n * factorial(n-1) for i in range(1,10):  print(i, factorial(i)) print(factorial(-1))

練習

1、我們的練習是一個古老的謎題。1612年，法國耶穌會士Claude-Gaspar Bachet提出了該謎題，即使用一個天平稱出從1磅到40磅的所有整數(shù)重量的東西（例如，糖或者面粉），求最少的砝碼數(shù)量。

第一個方法可能是使用1、2、4、8、16和32磅重量的這些砝碼。如果我們將砝碼放在天平的一端，而將物品放在另一端，那么這種方法用到的砝碼數(shù)量將是最小的。然而，我們也可以將砝碼同時放在天平的兩端，此時我們僅僅需要重量為1、3、9、27的砝碼。

編寫一個Python函數(shù)weigh()，該函數(shù)計算需要的砝碼以及它們在天平盤中的分布，以此來稱量1磅到40磅中任何一個整數(shù)重量的物品。
解決方法

1、我們需要前面章節(jié)“Linear Combinations”中的函數(shù)linear_combination()。
 

def factors_set():  factors_set = ( (i,j,k,l) for i in [-1,0,1]             for j in [-1,0,1]             for k in [-1,0,1]             for l in [-1,0,1])  for factor in factors_set:    yield factor def memoize(f):  results = {}  def helper(n):    if n not in results:      results[n] = f(n)    return results[n]  return helper @memoizedef linear_combination(n):  """ returns the tuple (i,j,k,l) satisfying    n = i*1 + j*3 + k*9 + l*27   """  weighs = (1,3,9,27)   for factors in factors_set():    sum = 0    for i in range(len(factors)):     sum += factors[i] * weighs[i]    if sum == n:     return factors

2、利用上面的代碼，就能很容易寫出我們的函數(shù)weigh()。
 

def weigh(pounds):  weights = (1,3,9,27)  scalars = linear_combination(pounds)  left = ""  right = ""  for i in range(len(scalars)):    if scalars[i] == -1:      left += str(weights[i]) + " "  elif scalars[i] == 1:      right += str(weights[i]) + " "  return (left,right) for i in [2,3,4,7,8,9,20,40]:  pans = weigh(i)  print("Left pan: " + str(i) + " plus " + pans[0])  print("Right pan: " + pans[1] + "n")