二叉搜索樹

我們已經知道了在一個集合中獲取鍵值對的兩種不同的方法。回憶一下這些集合是如何實現ADT（抽象數據類型）MAP的。我們討論兩種ADT MAP的實現方式，基于列表的二分查找和哈希表。在這一節中，我們將要學習二叉搜索樹，這是另一種鍵指向值的Map集合，在這種情況下我們不用考慮元素在樹中的實際位置，但要知道使用二叉樹來搜索更有效率。

搜索樹操作

在我們研究這種實現方式之前，讓我們回顧一下ADT MAP提供的接口。我們會注意到，這種接口和Python的字典非常相似。

1. Map() 創建了一個新的空Map集合。
2. put(key,val) 在Map中增加了一個新的鍵值對。如果這個鍵已經在這個Map中了，那么就用新的值來代替舊的值。
3. get(key) 提供一個鍵，返回Map中保存的數據，或者返回None。
4. del 使用del map[key]這條語句從Map中刪除鍵值對。
5. len() 返回Map中保存的鍵值對的數目
6. in 如果所給的鍵在Map中，使用key in map這條語句返回True。

搜索樹實現

一個二叉搜索樹，如果具有左子樹中的鍵值都小于父節點，而右子樹中的鍵值都大于父節點的屬性，我們將這種樹稱為BST搜索樹。如之前所述的，當我們實現Map時，BST方法將引導我們實現這一點。圖 1 展示了二叉搜索樹的這一特性，顯示的鍵沒有關聯任何的值。注意這種屬性適用于每個父節點和子節點。所有在左子樹的鍵值都小于根節點的鍵值，所有右子樹的鍵值都大于根節點的鍵值。

圖 1：一個簡單的二叉搜索樹

現在你知道什么是二叉搜索樹了，我們再來看如何構造一個二叉搜索樹，我們在搜索樹中按圖 1 顯示的節點順序插入這些鍵值，圖 1 搜索樹存在的節點：70,31,93,94,14,23,73。因為 70 是第一個被插入到樹的值，它是根節點。接下來，31 小于 70，因此是 70 的左子樹。接下來，93 大于 70，因此是 70 的右子樹。我們現在填充了該樹的兩層，所以下一個鍵值，將會是 31 或者 93 的左子樹或右子樹。由于 94 大于 70 和 93，就變成了 93 的右子樹。同樣，14 小于 70 和 31，因此成為了 31 的左子樹。23 也小于 31，因此必須是 31 的左子樹。然而，它大于 14，所以是 14 的右子樹。

為了實現二叉搜索樹，我們將使用節點和引用的方法，這類似于我們實現鏈表和表達式樹的過程。因為我們必須能夠創建和使用一個空的二叉搜索樹，所以我們將使用兩個類來實現，第一個類我們稱之為 BinarySearchTree，第二個類我們稱之為TreeNode。BinarySearchTree類有一個TreeNode類的引用作為二叉搜索樹的根，在大多數情況下，外部類定義的外部方法只需檢查樹是否為空，如果在樹上有節點，要求BinarySearchTree類中含有私有方法把根定義為參數。在這種情況下，如果樹是空的或者我們想刪除樹的根，我們就必須采用特殊操作。BinarySearchTree類的構造函數以及一些其他函數的代碼如Listing 1 所示。

Listing 1

class BinarySearchTree:  def __init__(self):    self.root = None    self.size = 0  def length(self):    return self.size  def __len__(self):    return self.size  def __iter__(self):    return self.root.__iter__()

TreeNode類提供了許多輔助函數，使得BinarySearchTree類的方法更容易實現過程。如Listing 2 所示，一個樹節點的結構，是由這些輔助函數實現的。正如你看到的那樣，這些輔助函數可以根據自己的位置來劃分一個節點作為左或右孩子和該子節點的類型。TreeNode類非常清楚地跟蹤了每個父節點的屬性。當我們討論刪除操作的實現時，你將明白為什么這很重要。

對于Listing 2 中的TreeNode實現，另一個有趣的地方是，我們使用Python的可選參數。可選的參數很容易讓我們在幾種不同的情況下創建一個樹節點，有時我們想創建一個新的樹節點，即使我們已經有了父節點和子節點。與現有的父節點和子節點一樣，我們可以通過父節點和子節點作為參數。有時我們也會創建一個包含鍵值對的樹，我們不會傳遞父節點或子節點的任何參數。在這種情況下，我們將使用可選參數的默認值。

Listing 2

class TreeNode:  def __init__(self,key,val,left=None,right=None,                    parent=None):    self.key = key    self.payload = val    self.leftChild = left    self.rightChild = right    self.parent = parent  def hasLeftChild(self):    return self.leftChild  def hasRightChild(self):    return self.rightChild  def isLeftChild(self):    return self.parent and self.parent.leftChild == self  def isRightChild(self):    return self.parent and self.parent.rightChild == self  def isRoot(self):    return not self.parent  def isLeaf(self):    return not (self.rightChild or self.leftChild)  def hasAnyChildren(self):    return self.rightChild or self.leftChild  def hasBothChildren(self):    return self.rightChild and self.leftChild  def replaceNodeData(self,key,value,lc,rc):    self.key = key    self.payload = value    self.leftChild = lc    self.rightChild = rc    if self.hasLeftChild():      self.leftChild.parent = self    if self.hasRightChild():      self.rightChild.parent = self

現在，我們擁有了BinarySearchTree和TreeNode類，是時候寫一個put方法使我們能夠建立二叉搜索樹。put方法是BinarySearchTree類的一個方法。這個方法將檢查這棵樹是否已經有根。如果沒有，我們將創建一個新的樹節點并把它設置為樹的根。如果已經有一個根節點，我們就調用它自己，進行遞歸，用輔助函數_put按下列算法來搜索樹：

從樹的根節點開始，通過搜索二叉樹來比較新的鍵值和當前節點的鍵值，如果新的鍵值小于當前節點，則搜索左子樹。如果新的關鍵大于當前節點，則搜索右子樹。

當搜索不到左（或右）子樹，我們在樹中所處的位置就是設置新節點的位置。
向樹中添加一個節點，創建一個新的TreeNode對象并在這個點的上一個節點中插入這個對象。

Listing 3 顯示了在樹中插入新節點的Python代碼。_put函數要按照上述的步驟編寫遞歸算法。注意，當一個新的子樹插入時，當前節點（CurrentNode）作為父節點傳遞給新的樹。

我們執行插入的一個重要問題是重復的鍵值不能被正確的處理，我們的樹實現了鍵值的復制，它將在右子樹創建一個與原來節點鍵值相同的新節點。這樣做的后果是，新的節點將不會在搜索過程中被發現。我們用一個更好的方式來處理插入重復的鍵值，舊的值被新鍵關聯的值替換。我們把這個錯誤的修復，作為練習留給你。

Listing 3

def put(self,key,val):  if self.root:    self._put(key,val,self.root)  else:    self.root = TreeNode(key,val)  self.size = self.size + 1def _put(self,key,val,currentNode):  if key < currentNode.key:    if currentNode.hasLeftChild():        self._put(key,val,currentNode.leftChild)    else:        currentNode.leftChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)  else:    if currentNode.hasRightChild():        self._put(key,val,currentNode.rightChild)    else:        currentNode.rightChild = TreeNode(key,val,parent=currentNode)

隨著put方法的實現，我們可以很容易地通過__setitem__方法重載[]作為操作符來調用put方法（參見Listing 4）。這使我們能夠編寫像myZipTree['Plymouth'] = 55446一樣的python語句，這看上去就像Python的字典。

Listing 4

def __setitem__(self,k,v):  self.put(k,v)

圖 2 說明了將新節點插入到一個二叉搜索樹的過程。灰色節點顯示了插入過程中遍歷樹節點順序。

圖 2: 插入一個鍵值 = 19 的節點

一旦樹被構造，接下來的任務就是為一個給定的鍵值實現檢索。get方法比put方法更容易因為它只需遞歸搜索樹，直到發現不匹配的葉節點或找到一個匹配的鍵值。當找到一個匹配的鍵值后，就會返回節點中的值。

Listing 5 顯示了get，_get和__getitem__的代碼。用_get方法搜索的代碼與put方法具有相同的選擇左或右子樹的邏輯。請注意，_get方法返回TreeNode中get的值，_get就可以作為一個靈活有效的方式，為BinarySearchTree的其他可能需要使用TreeNode里的數據的方法提供參數。

通過實現__getitem__方法，我們可以寫一個看起來就像我們訪問字典一樣的Python語句，而事實上我們只是操作二叉搜索樹，例如Z = myziptree ['fargo']。正如你所看到的，__getitem__方法都是在調用get。

Listing 5

def get(self,key):  if self.root:    res = self._get(key,self.root)    if res:        return res.payload    else:        return None  else:    return Nonedef _get(self,key,currentNode):  if not currentNode:    return None  elif currentNode.key == key:    return currentNode  elif key < currentNode.key:    return self._get(key,currentNode.leftChild)  else:    return self._get(key,currentNode.rightChild)def __getitem__(self,key):  return self.get(key)

使用get，我們可以通過寫一個BinarySearchTree的__contains__方法來實現操作，__contains__方法簡單地調用了get方法，如果它有返回值就返回True，如果它是None就返回False。如Listing 6 所示。

Listing 6

def __contains__(self,key):  if self._get(key,self.root):    return True  else:    return False

回顧一下__contains__重載的操作符，這允許我們寫這樣的語句：

if 'Northfield' in myZipTree:  print("oom ya ya")