JavaScript數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之二叉樹(shù)詳解

2019-11-20 13:10:21

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二叉樹(shù)的概念

二叉樹(shù)（Binary Tree）是n（n>=0）個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合，該集合或者為空集（空二叉樹(shù)），或者由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)和兩棵互不相交的、分別稱(chēng)為根結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)和右子樹(shù)的二叉樹(shù)組成。

二叉樹(shù)的特點(diǎn)

每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹(shù)，所以二叉樹(shù)中不存在度大于2的結(jié)點(diǎn)。二叉樹(shù)中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)對(duì)象，每一個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)都有三個(gè)指針，分別是指向父母、左孩子和右孩子的指針。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都是通過(guò)指針相互連接的。相連指針的關(guān)系都是父子關(guān)系。

二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的定義

二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)定義如下：

復(fù)制代碼代碼如下:

struct BinaryTreeNode
{
    int m_nValue;
    BinaryTreeNode* m_pLeft;
    BinaryTreeNode* m_pRight;
};

二叉樹(shù)的五種基本形態(tài)

空二叉樹(shù)
只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)
根結(jié)點(diǎn)只有左子樹(shù)
根結(jié)點(diǎn)只有右子樹(shù)
根結(jié)點(diǎn)既有左子樹(shù)又有右子樹(shù)

擁有三個(gè)結(jié)點(diǎn)的普通樹(shù)只有兩種情況：兩層或者三層。但由于二叉樹(shù)要區(qū)分左右，所以就會(huì)演變成如下的五種形態(tài)：

特殊二叉樹(shù)

斜樹(shù)

如上面倒數(shù)第一副圖的第2、3小圖所示。

滿二叉樹(shù)

在一棵二叉樹(shù)中，如果所有分支結(jié)點(diǎn)都存在左子樹(shù)和右子樹(shù)，并且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹(shù)稱(chēng)為滿二叉樹(shù)。如下圖所示：

完全二叉樹(shù)

完全二叉樹(shù)是指最后一層左邊是滿的，右邊可能滿也可能不滿，然后其余層都是滿的。一個(gè)深度為k，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2^k - 1 的二叉樹(shù)為滿二叉樹(shù)（完全二叉樹(shù)）。就是一棵樹(shù)，深度為k，并且沒(méi)有空位。

完全二叉樹(shù)的特點(diǎn)有：

葉子結(jié)點(diǎn)只能出現(xiàn)在最下兩層。

最下層的葉子一定集中在左部連續(xù)位置。

倒數(shù)第二層，若有葉子結(jié)點(diǎn)，一定都在右部連續(xù)位置。

如果結(jié)點(diǎn)度為1，則該結(jié)點(diǎn)只有左孩子。

同樣結(jié)點(diǎn)樹(shù)的二叉樹(shù)，完全二叉樹(shù)的深度最小。

注意：滿二叉樹(shù)一定是完全二叉樹(shù)，但完全二叉樹(shù)不一定是滿二叉樹(shù)。

算法如下：

復(fù)制代碼代碼如下:

bool is_complete(tree *root)
{
    queue q;
    tree *ptr;
    // 進(jìn)行廣度優(yōu)先遍歷（層次遍歷），并把NULL節(jié)點(diǎn)也放入隊(duì)列
    q.push(root);
    while ((ptr = q.pop()) != NULL)
    {
        q.push(ptr->left);
        q.push(ptr->right);
    }

    // 判斷是否還有未被訪問(wèn)到的節(jié)點(diǎn)
    while (!q.is_empty())
    {
        ptr = q.pop();

        // 有未訪問(wèn)到的的非NULL節(jié)點(diǎn)，則樹(shù)存在空洞，為非完全二叉樹(shù)
        if (NULL != ptr)
        {
            return false;
        }
    }

return true;
}

二叉樹(shù)的性質(zhì)

二叉樹(shù)的性質(zhì)一：在二叉樹(shù)的第i層上至多有2^(i-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)(i>=1)

二叉樹(shù)的性質(zhì)二：深度為k的二叉樹(shù)至多有2^k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)(k>=1)

二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)就是用一維數(shù)組存儲(chǔ)二叉樹(shù)中的各個(gè)結(jié)點(diǎn)，并且結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)位置能體現(xiàn)結(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系。

二叉鏈表

既然順序存儲(chǔ)方式的適用性不強(qiáng)，那么我們就要考慮鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)啦。二叉樹(shù)的存儲(chǔ)按照國(guó)際慣例來(lái)說(shuō)一般也是采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)的。

二叉樹(shù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)孩子，所以為它設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)域和兩個(gè)指針域是比較自然的想法，我們稱(chēng)這樣的鏈表叫做二叉鏈表。

二叉樹(shù)的遍歷

二叉樹(shù)的遍歷(traversing binary tree)是指從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，按照某種次序依次訪問(wèn)二叉樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)被訪問(wèn)一次且僅被訪問(wèn)一次。

二叉樹(shù)的遍歷有三種方式，如下：

（1）前序遍歷（DLR），首先訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，然后遍歷左子樹(shù)，最后遍歷右子樹(shù)。簡(jiǎn)記根-左-右。

（2）中序遍歷（LDR），首先遍歷左子樹(shù)，然后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，最后遍歷右子樹(shù)。簡(jiǎn)記左-根-右。

（3）后序遍歷（LRD），首先遍歷左子樹(shù)，然后遍歷右子樹(shù)，最后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。簡(jiǎn)記左-右-根。

前序遍歷：

若二叉樹(shù)為空，則空操作返回，否則先訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，然后前序遍歷左子樹(shù)，再前序遍歷右子樹(shù)。

遍歷的順序?yàn)椋篈 B D H I E J C F K G

復(fù)制代碼代碼如下:

//先序遍歷
function preOrder(node){
    if(!node == null){
        putstr(node.show()+ " ");
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }
}

中序遍歷：

若樹(shù)為空，則空操作返回，否則從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始（注意并不是先訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)），中序遍歷根結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)，然后是訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，最后中序遍歷右子樹(shù)。

遍歷的順序?yàn)椋篐 D I B E J A F K C G

復(fù)制代碼代碼如下:

//使用遞歸方式實(shí)現(xiàn)中序遍歷
function inOrder(node){
    if(!(node == null)){
        inOrder(node.left);//先訪問(wèn)左子樹(shù)
        putstr(node.show()+ " ");//再訪問(wèn)根節(jié)點(diǎn)
        inOrder(node.right);//最后訪問(wèn)右子樹(shù)
    }
}

后序遍歷：

若樹(shù)為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子后結(jié)點(diǎn)的方式遍歷訪問(wèn)左右子樹(shù)，最后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。

遍歷的順序?yàn)椋篐 I D J E B K F G C A

復(fù)制代碼代碼如下:

//后序遍歷
function postOrder(node){
    if(!node == null){
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        putStr(node.show()+ " ");
    }
}

實(shí)現(xiàn)二叉查找樹(shù)

二叉查找樹(shù)（BST）由節(jié)點(diǎn)組成，所以我們定義一個(gè)Node節(jié)點(diǎn)對(duì)象如下：

復(fù)制代碼代碼如下:

function Node(data,left,right){
    this.data = data;
    this.left = left;//保存left節(jié)點(diǎn)鏈接
    this.right = right;
    this.show = show;
}

function show(){
return this.data;//顯示保存在節(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)
}

查找最大和最小值

查找BST上的最小值和最大值非常簡(jiǎn)單，因?yàn)檩^小的值總是在左子節(jié)點(diǎn)上，在BST上查找最小值，只需遍歷左子樹(shù)，直到找到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)

查找最小值

復(fù)制代碼代碼如下:

function getMin(){
    var current = this.root;
    while(!(current.left == null)){
        current = current.left;
    }
    return current.data;
}

該方法沿著B(niǎo)ST的左子樹(shù)挨個(gè)遍歷，直到遍歷到BST最左的節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)被定義為：

復(fù)制代碼代碼如下:

current.left = null;

這時(shí)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)上保存的值就是最小值

查找最大值

在BST上查找最大值只需要遍歷右子樹(shù)，直到找到最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)上保存的值就是最大值。

復(fù)制代碼代碼如下:

function getMax(){
    var current = this.root;
    while(!(current.right == null)){
        current = current.right;
    }
    return current.data;
}

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