第 1 章貪婪算法

2019-11-17 05:36:34

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供稿：網(wǎng)友

　　雖然設計一個好的求解算法更像是一門藝術，而不像是技術，但仍然存在一些行之有效的能夠用于解決許多問題的算法設計方法，你可以使用這些方法來設計算法，并觀察這些算法是如何工作的。一般情況下，為了獲得較好的性能，必須對算法進行細致的調(diào)整。但是在某些情況下，算法經(jīng)過調(diào)整之后性能仍無法達到要求，這時就必須尋求另外的方法來求解該問題。

本章首先引入最優(yōu)化的概念，然后介紹一種直觀的問題求解方法：貪婪算法。最后，應用該算法給出貨箱裝船問題、背包問題、拓撲排序問題、二分覆蓋問題、最短路徑問題、最小代價生成樹等問題的求解方案。

1.1 最優(yōu)化問題本章及后續(xù)章節(jié)中的許多例子都是最優(yōu)化問題（ optimization PRoblem），每個最優(yōu)化問題都包含一組限制條件（ c o n s t r a i n t）和一個優(yōu)化函數(shù)（ optimization function），符合限制條件的問題求解方案稱為可行解（ feasible solution），使優(yōu)化函數(shù)取得最佳值的可行解稱為最優(yōu)解（optimal solution）。

例1-1 [ 渴嬰問題] 有一個非常渴的、聰明的小嬰兒，她可能得到的東西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不同種類的果汁、許多不同的裝在瓶子或罐子中的蘇打水，即嬰兒可得到n 種不同的飲料。根據(jù)以前關于這n 種飲料的不同體驗，此嬰兒知道這其中某些飲料更合自己的胃口，因此，嬰兒采取如下方法為每一種飲料賦予一個滿足度值：飲用1盎司第i 種飲料，對它作出相對評價，將一個數(shù)值si 作為滿足度賦予第i 種飲料。

通常，這個嬰兒都會盡量飲用具有最大滿足度值的飲料來最大限度地滿足她解渴的需要，但是不幸的是：具有最大滿足度值的飲料有時并沒有足夠的量來滿足此嬰兒解渴的需要。設ai是第i 種飲料的總量（以盎司為單位），而此嬰兒需要t 盎司的飲料來解渴，那么，需要飲用n種不同的飲料各多少量才能滿足嬰兒解渴的需求呢？

設各種飲料的滿足度已知。令xi 為嬰兒將要飲用的第i 種飲料的量，則需要解決的問題是：

找到一組實數(shù)xi（1≤i≤n），使n ?i = 1si xi 最大，并滿足：n ?i=1xi =t 及0≤xi≤ai 。

需要指出的是：假如n ?i = 1ai < t，則不可能找到問題的求解方案，因為即使喝光所有的飲料也不能使嬰兒解渴。

對上述問題精確的數(shù)學描述明確地指出了程序必須完成的工作，根據(jù)這些數(shù)學公式，可以對輸入/ 輸出作如下形式的描述：

輸入：n，t，si ，ai（其中1≤i≤n，n 為整數(shù)，t、si 、ai 為正實數(shù)）。

輸出：實數(shù)xi（1≤i≤n），使n ?i= 1si xi 最大且n ?i=1xi =t（0≤xi≤ai）。假如n ?i = 1ai

在這個問題中，限制條件是n ?i= 1xi =t 且0≤xi≤ai，1≤i≤n。而優(yōu)化函數(shù)是n ?i= 1si xi 。任何滿足限制條件的一組實數(shù)xi 都是可行解，而使n ?i= 1si xi 最大的可行解是最優(yōu)解。

例1-2 [裝載問題] 有一艘大船預備用來裝載貨物。所有待裝貨物都裝在貨箱中且所有貨箱的大小都一樣，但貨箱的重量都各不相同。設第i 個貨箱的重量為wi（1≤i≤n），而貨船的最大載重量為c，我們的目的是在貨船上裝入最多的貨物。

這個問題可以作為最優(yōu)化問題進行描述：設存在一組變量xi ，其可能取值為0或1。如xi 為0，則貨箱i 將不被裝上船；如xi 為1，則貨箱i 將被裝上船。我們的目的是找到一組xi ，使它滿足限制條件n ?i = 1wi xi ≤c 且x i ? {0, 1}, 1 ≤i≤n。相應的優(yōu)化函數(shù)是n ?i= 1xi 。

滿足限制條件的每一組xi 都是一個可行解，能使n ?i= 1xi 取得最大值的方案是最優(yōu)解。

例1-3 [最小代價通訊網(wǎng)絡] 城市及城市之間所有可能的通信連接可被視作一個無向圖，圖的每條邊都被賦予一個權值，權值表示建成由這條邊所表示的通信連接所要付出的代價。包含圖中所有頂點（城市）的連通子圖都是一個可行解。設所有的權值都非負，則所有可能的可行解都可表示成無向圖的一組生成樹，而最優(yōu)解是其中具有最小代價的生成樹。

在這個問題中，需要選擇一個無向圖中的邊集合的子集，這個子集必須滿足如下限制條件：所有的邊構成一個生成樹。而優(yōu)化函數(shù)是子集中所有邊的權值之和。

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