關于魔方陣的解法

2019-11-17 05:35:27

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供稿：網友

首先把從１～n2的整數按從小到大的順序排列成一個n×n的方陣Ａ進行觀察。(本文中所有n都是指大于1的奇數，下文中均以“A”代表這類順序排列的n×n方陣)
以5階陣為例：以下是A方陣
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
下邊是魔方陣B:
12 16 25 4 8
6 15 19 23 2
5 9 13 17 21
24 3 7 11 20
18 22 1 10 14
先假設n階奇次魔方陣B是存在的，從A中可以看出，B的任一元素在A中都有唯一確定的行號和列號組合(y,x)。
分離出B中所有元素在A中的行號y來構成n×n方陣I，讓I(i,j)等于從B(i,j)分離出來的y；(如I(1,1) =3,即12在A中的行號A(3,2);I(1,2)=4，即16在A中的行號A(4,1)。)以下是I方陣:
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
1 2 3 4 5
5 1 2 3 4
4 5 1 2 3
同樣分離出B中所有元素在A中的列號y來構成n×n方陣J，讓J(i,j)等于從B(i,j)分離出來的x。以下是J方陣
2 1 5 4 3
1 5 4 3 2
5 4 3 2 1
4 3 2 1 5
3 2 1 5 4
觀察方陣I特征為：        1.組成方陣的數為1～n的整數；        2.任一行、列均遍歷1～n的所有整數；        3.主對角線上的數均為(n+1)/2,輔對角線遍歷1～n的所有整數。方陣J特征前兩點同I，區別是第三點,輔對角線上的數均為(n+1)/2，主對角線遍歷1～n的所有整數。另外還有輕易忽略的一點，I、J方陣對應位置上的數字組合[I(i,j)，J(i,j)]是唯一的。
      　綜合以上的結論可以知道：B(i,j)=(I(i,j)-1)×n+J(i,j)。所以只要構造出這樣兩個只含1～n的數的方陣I和J，就可以確定一個n×n的魔方陣。
現在，問題就轉化為怎樣構造分別滿足I和J的特征的兩個n×n方陣。其實完成這樣的算法是很簡單的，可以按以下方法實現：1)　方陣I的第一行由(n+1)/2打頭,后面依次為前一個數關于n的循環后繼;2)方陣I的第i+1行由第i行循環右移得到。本人給出的程序：main()
{
int n,i,j;
int a[20][20],x[20][20],y[20][20];/* a數組為最后結果數組文中的B方陣，X，Y分別是文中提到的數組I，J*/
scanf("%d",&n); /*輸入需要的數組維數*/
x[0][0]=(n+1)/2;
for(j=1;j<n;j++)
{
   if(x[0][j-1]==n) x[0][j]=x[0][j-1]+1-n;
   else            x[0][j]=x[0][j-1]+1;
}/*給x中的第一行元素賦值*/for(i=1;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
    if(j-1<0) x[i][j]=x[i-1][j-1+n];
    else       x[i][j]=x[i-1][j-1];
} /*通過變換給X的所有元素賦值*/
clrscr();
printf("X:/n");
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%3d",x[i][j]);
if(j==n-1)printf("/n");
}/*輸出X數組*/
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
y[i][j]=x[i][n-1-j];/*通過文中提到的公式給Y數組賦值*/
printf("Y:/n");
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
   {printf("%3d",y[i][j]);
   if(j==n-1)printf("/n");
   }/*輸出Y數組*/
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
   a[i][j]=(x[i][j]-1)*n+y[i][j];
printf("A:/n");
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{printf("%5d",a[i][j]);
if(j==n-1)printf("/n");}
/*輸出A數組結果*/
}