什么是迭代跟遞歸算法？二者有什么區(qū)別？

2019-11-17 05:02:55

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供稿：網(wǎng)友

　　迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令(或一定步驟)進行重復執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令(或這些步驟)時，都從變量的原值推出它的一個新值。

　　利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：　　一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。　　二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式(或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的要害，通?？梢允褂眠f推或倒推的方法來完成。　　三、對迭代過程進行控制。在什么時候結(jié)束迭代過程?這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執(zhí)行下去。迭代過程的控制通?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個確定的值，可以計算出來;另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。對于前一種情況，可以構(gòu)建一個固定次數(shù)的循環(huán)來實現(xiàn)對迭代過程的控制;對于后一種情況，需要進一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件?！　±?1 ：一個飼養(yǎng)場引進一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。假如所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養(yǎng)場共有兔子多少只?　　分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數(shù)為 u 3 ，……根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子”，則有以下是引用片段：
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……　　根據(jù)這個規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：以下是引用片段：
　　u n = u n - 1 × 2 (n ≥ 2)　　對應 u n 和 u n - 1 ，定義兩個迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：以下是引用片段：
　　y=x*2
　　x=y　　讓計算機對這個迭代關(guān)系重復執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數(shù)。參考程序如下：以下是引用片段：
　　cls
　　x=1
　　for i=2 to 12
　　y=x*2
　　x=y
　　next i
　　PRint y
　　end　　例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養(yǎng)參液的容器內(nèi)， 45 分鐘后容器內(nèi)布滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個。試問，開始的時候往容器內(nèi)放了多少個阿米巴?請編程序算出?！　》治觯?根據(jù)題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那么從開始的時候?qū)⒚装头湃肴萜骼锩?，?45 分鐘后布滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴 2 20 個”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的個數(shù)是 2 20 。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數(shù)，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之后的 2 20 個，倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的個數(shù)，再進一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的個數(shù)。　　設第 1 次分裂之前的個數(shù)為 x 0 、第 1 次分裂之后的個數(shù)為 x 1 、第 2 次分裂之后的個數(shù)為 x 2 、……第 15 次分裂之后的個數(shù)為 x 15 ，則有以下是引用片段：
　　x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)　　因為第 15 次分裂之后的個數(shù) x 15 是已知的，假如定義迭代變量為 x ，則可以將上面的倒推公式轉(zhuǎn)換成如下的迭代公式：　　x=x/2 ( x 的初值為第 15 次分裂之后的個數(shù) 2 20 )　　讓這個迭代公式重復執(zhí)行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數(shù)。因為所需的迭代次數(shù)是個確定的值，我們可以使用一個固定次數(shù)的循環(huán)來實現(xiàn)對迭代過程的控制。參考程序如下：以下是引用片段：
　　cls
　　x=2^20
　　for i=1 to 15
　　x=x/2
　　next i
　　print x
　　end

　　例 3 ：驗證谷角猜想。日本數(shù)學家谷角靜夫在研究自然數(shù)時發(fā)現(xiàn)了一個希奇現(xiàn)象：對于任意一個自然數(shù) n ，若 n 為偶數(shù)，則將其除以 2 ;若 n 為奇數(shù)，則將其乘以 3 ，然后再加 1 。如此經(jīng)過有限次運算后，總可以得到自然數(shù) 1 。人們把谷角靜夫的這一發(fā)現(xiàn)叫做“谷角猜想”。
　　要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數(shù) n ，把 n 經(jīng)過有限次運算后，最終變成自然數(shù) 1 的全過程打印出來?！　》治觯?定義迭代變量為 n ，按照谷角猜想的內(nèi)容，可以得到兩種情況下的迭代關(guān)系式：當 n 為偶數(shù)時， n=n/2 ;當 n 為奇數(shù)時， n=n*3+1 。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：以下是引用片段：
　　if n 為偶數(shù) then
　　n=n/2
　　else
　　n=n*3+1
　　end if　　這就是需要計算機重復執(zhí)行的迭代過程。這個迭代過程需要重復執(zhí)行多少次，才能使迭代變量 n 最終變成自然數(shù) 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結(jié)束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數(shù) n ，只要經(jīng)過有限次運算后，能夠得到自然數(shù) 1 ，就已經(jīng)完成了驗證工作。因此，用來結(jié)束迭代過程的條件可以定義為： n=1 。參考程序如下：以下是引用片段：
　　cls
　　input "Please input n=";n
　　do until n=1
　　if n mod 2=0 then
　　rem 假如 n 為偶數(shù)，則調(diào)用迭代公式 n=n/2
　　n=n/2
　　print "—";n;
　　else
　　n=n*3+1
　　print "—";n;
　　end if
　　loop
　　end　　迭代法　　迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數(shù)學方法導出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：　　(1) 選一個方程的近似根，賦給變量x0;　　(2) 將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0;　　(3) 當x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復步驟(2)的計算?！　∪舴匠逃懈?，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：　　【算法】迭代法求方程的根以下是引用片段：
　　{ x0=初始近似根;
　　do {
　　x1=x0;
　　x0=g(x1); /*按特定的方程計算新的近似根*/
　　} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);
　　printf(“方程的近似根是%f/n”，x0);
　　}　　迭代算法也常用于求方程組的根，令　　X=(x0，x1，…，xn-1)　　設方程組為：　　xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)　　則求方程組根的迭代算法可描述如下：　　【算法】迭代法求方程組的根以下是引用片段：
　　{ for (i=0;i
　　x=初始近似根;
　　do {
　　for (i=0;i
　　y=x;
　　for (i=0;i
　　x=gi(X);
　　for (delta=0.0,i=0;i
　　if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);
　　} while (delta>Epsilon);
　　for (i=0;i
　　printf(“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x);
　　printf(“/n”);
　　}　　具體使用迭代法求根時應注重以下兩種可能發(fā)生的情況：　　(1) 假如方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制;　　(2) 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗?！　∵f歸　　遞歸是設計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設計方法之前先討論它?！　∧懿捎眠f歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。非凡地，當規(guī)模N=1時，能直接得解。

　　【問題】編寫計算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項函數(shù)fib(n)?！　§巢瞧鯏?shù)列為：0、1、1、2、3、……，即：以下是引用片段：
　　fib(0)=0;
　　fib(1)=1;
　　fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>1時)?！　懗蛇f歸函數(shù)有：以下是引用片段：
　　int fib(int n)
　　{ if (n==0) return 0;
　　if (n==1) return 1;
　　if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
　　}　　遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復雜的問題(規(guī)模為n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規(guī)模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n- 2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當n為1和0的情況。
　　在回歸階段，當獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果?！　≡诰帉戇f歸函數(shù)時要注重，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當前調(diào)用層，當遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量?！　∮捎谶f歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！　　締栴}】組合問題　　問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1　　(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1　　(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1　　(10)3、2、1　　分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m 個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當一個組合求出后，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb?！　　境绦颉恳韵率且闷危?br />　　# include
　　# define MAXN 100
　　int a[MAXN];
　　void comb(int m,int k)
　　{ int i,j;
　　for (i=m;i>=k;i--)
　　{ a[k]=i;
　　if (k>1)
　　comb(i-1,k-1);
　　else
　　{ for (j=a[0];j>0;j--)
　　printf(“%4d”,a[j]);
　　printf(“/n”);
　　}
　　}
　　}
　　void main()
　　{ a[0]=3;
　　comb(5,3);
　　}　　【問題】背包問題　　問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。　　設n 件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品;當前方案已包含的物品的重量之和為tw;至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。　　對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：　　(1) 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇?！　?2) 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況?！　“匆陨纤枷雽懗鲞f歸算法如下：以下是引用片段：
　　try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
　　{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
　　if(包含物品i是可以接受的)
　　{ 將物品i包含在當前方案中;
　　if (i
　　try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
　　else
　　/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
　　以當前方案作為臨時最佳方案保存;
　　恢復物品i不包含狀態(tài);
　　}
　　/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
　　if (不包含物品i僅是可男考慮的)
　　if (i
　　try(i+1,tw,tv-物品i的價值);
　　else
　　/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
　　以當前方案作為臨時最佳方案保存;
　　}

　　為了理解上述算法，特舉以下實例。設有4件物品，它們的重量和價值見表：　　物品 0 1 2 3　　重量 5 3 2 1　　價值 4 4 3 1　　并設限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。　　按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：　　【程序】以下是引用片段：
　　# include
　　# define N 100
　　double limitW,totV,maxV;
　　int option[N],cop[N];
　　strUCt { double weight;
　　double value;
　　}a[N];
　　int n;
　　void find(int i,double tw,double tv)
　　{ int k;
　　/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
　　if (tw+a.weight<=limitW)
　　{ cop=1;
　　if (i
　　else
　　{ for (k=0;k
　　option[k]=cop[k];
　　maxv=tv;
　　}
　　cop=0;
　　}
　　/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
　　if (tv-a.value>maxV)
　　if (i
　　else
　　{ for (k=0;k
　　option[k]=cop[k];
　　maxv=tv-a.value;
　　}
　　}
　　void main()
　　{ int k;
　　double w,v;
　　printf(“輸入物品種數(shù)/n”);
　　scanf((“%d”,&n);
　　printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
　　for (totv=0.0,k=0;k
　　{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
　　a[k].weight=w;
　　a[k].value=v;
　　totV+=V;
　　}
　　printf(“輸入限制重量/n”);
　　scanf(“%1f”,&limitV);
　　maxv=0.0;
　　for (k=0;k find(0,0.0,totV);
　　for (k=0;k
　　if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
　　printf(“/n總價值為%.2f/n”,maxv);
　　}
　　作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續(xù)考慮的;反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中;反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品?！　　境绦颉恳韵率且闷危?br />　　# include
　　# define N 100
　　double limitW;
　　int cop[N];
　　struct ele { double weight;
　　double value;
　　} a[N];
　　int k,n;
　　struct { int ;
　　double tw;
　　double tv;
　　}twv[N];
　　void next(int i,double tw,double tv)
　　{ twv.=1;
　　twv.tw=tw;
　　twv.tv=tv;
　　}
　　double find(struct ele *a,int n)
　　{ int i,k,f;
　　double maxv,tw,tv,totv;
　　maxv=0;
　　for (totv=0.0,k=0;k
　　totv+=a[k].value;
　　next(0,0.0,totv);
　　i=0;
　　While (i>=0)
　　{ f=twv.;
　　tw=twv.tw;
　　tv=twv.tv;
　　switch(f)
　　{ case 1: twv.++;
　　if (tw+a.weight<=limitW)
　　if (i
　　{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
　　i++;
　　}
　　else
　　{ maxv=tv;
　　for (k=0;k
　　cop[k]=twv[k].!=0;
　　}
　　break;
　　case 0: i--;
　　break;
　　default: twv.=0;
　　if (tv-a.value>maxv)
　　if (i
　　{ next(i+1,tw,tv-a.value);
　　i++;
　　}
　　else
　　{ maxv=tv-a.value;
　　for (k=0;k
　　cop[k]=twv[k].!=0;
　　}
　　break;
　　}
　　}
　　return maxv;
　　}
　　void main()
　　{ double maxv;
　　printf(“輸入物品種數(shù)/n”);
　　scanf((“%d”,&n);
　　printf(“輸入限制重量/n”);
　　scanf(“%1f”,&limitW);
　　printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
　　for (k=0;k
　　scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
　　maxv=find(a,n);
　　printf(“/n選中的物品為/n”);
　　for (k=0;k
　　if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
　　printf(“/n總價值為%.2f/n”,maxv);
　　} 　　遞歸的基本概念和特點　　程序調(diào)用自身的編程技巧稱為遞歸( recursion)。

　　一個過程或函數(shù)在其定義或說明中又直接或間接調(diào)用自身的一種方法，它通常把一個大型復雜的問題層層轉(zhuǎn)化為一個與原問題相似的規(guī)模較小的問題來求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復計算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸的能力在于用有限的語句來定義對象的無限集合。用遞歸思想寫出的程序往往十分簡潔易懂。　　一般來說，遞歸需要有邊界條件、遞歸前進段和遞歸返回段。當邊界條件不滿足時，遞歸前進;當邊界條件滿足時，遞歸返回?！　∽⒅兀骸　?1) 遞歸就是在過程或函數(shù)里調(diào)用自身;
　　2) 在使用遞增歸策略時，必須有一個明確的遞歸結(jié)束條件，稱為遞歸出口。

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