二叉樹(binary)是一種特殊的樹。二叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只能有2個(gè)子節(jié)點(diǎn)：

二叉樹

由于二叉樹的子節(jié)點(diǎn)數(shù)目確定，所以可以直接采用上圖方式在內(nèi)存中實(shí)現(xiàn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)左子節(jié)點(diǎn)(left children)和右子節(jié)點(diǎn)(right children)。左子節(jié)點(diǎn)是左子樹的根節(jié)點(diǎn)，右子節(jié)點(diǎn)是右子樹的根節(jié)點(diǎn)。

如果我們給二叉樹加一個(gè)額外的條件，就可以得到一種被稱作二叉搜索樹(binary search tree)的特殊二叉樹。二叉搜索樹要求：每個(gè)節(jié)點(diǎn)都不比它左子樹的任意元素小，而且不比它的右子樹的任意元素大。

(如果我們假設(shè)樹中沒有重復(fù)的元素，那么上述要求可以寫成：每個(gè)節(jié)點(diǎn)比它左子樹的任意節(jié)點(diǎn)大，而且比它右子樹的任意節(jié)點(diǎn)小)

二叉搜索樹，注意樹中元素的大小

二叉搜索樹可以方便的實(shí)現(xiàn)搜索算法。在搜索元素x的時(shí)候，我們可以將x和根節(jié)點(diǎn)比較:

1. 如果x等于根節(jié)點(diǎn)，那么找到x，停止搜索 (終止條件)

2. 如果x小于根節(jié)點(diǎn)，那么搜索左子樹

3. 如果x大于根節(jié)點(diǎn)，那么搜索右子樹

二叉搜索樹所需要進(jìn)行的操作次數(shù)最多與樹的深度相等。n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉搜索樹的深度最多為n，最少為log(n)。

下面是用java實(shí)現(xiàn)的二叉搜索樹，并有搜索，插入，刪除，尋找最大最小節(jié)點(diǎn)的操作。

刪除節(jié)點(diǎn)相對(duì)比較復(fù)雜。刪除節(jié)點(diǎn)后，有時(shí)需要進(jìn)行一定的調(diào)整，以恢復(fù)二叉搜索樹的性質(zhì)(每個(gè)節(jié)點(diǎn)都不比它左子樹的任意元素小，而且不比它的右子樹的任意元素大)。

• 葉節(jié)點(diǎn)可以直接刪除。
• 刪除非葉節(jié)點(diǎn)時(shí)，比如下圖中的節(jié)點(diǎn)8，我們可以刪除左子樹中最大的元素(或者右樹中最大的元素)，用刪除的節(jié)點(diǎn)來補(bǔ)充元素8產(chǎn)生的空缺。但該元素可能也不是葉節(jié)點(diǎn)，所以它所產(chǎn)生的空缺需要其他元素補(bǔ)充…… 直到最后刪除一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)。上述過程可以遞歸實(shí)現(xiàn)。

刪除節(jié)點(diǎn)

刪除節(jié)點(diǎn)后的二叉搜索樹

import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class BinarySearchTree {// 樹的根結(jié)點(diǎn)PRivate TreeNode root = null;// 遍歷結(jié)點(diǎn)列表private List<TreeNode> nodelist = new ArrayList<TreeNode>();private class TreeNode {private int key;private TreeNode leftChild;private TreeNode rightChild;private TreeNode parent;public TreeNode(int key, TreeNode leftChild, TreeNode rightChild,TreeNode parent) {this.key = key;this.leftChild = leftChild;this.rightChild = rightChild;this.parent = parent;}public int getKey() {return key;}public String toString() {String leftkey = (leftChild == null ? "" : String.valueOf(leftChild.key));String rightkey = (rightChild == null ? "" : String.valueOf(rightChild.key));return "(" + leftkey + " , " + key + " , " + rightkey + ")";}}/** * isEmpty: 判斷二叉查找樹是否為空；若為空，返回 true ，否則返回 false . *  */public boolean isEmpty() {if (root == null) {return true;} else {return false;}}/** * TreeEmpty: 對(duì)于某些二叉查找樹操作(比如刪除關(guān)鍵字)來說，若樹為空，則拋出異常。 */public void TreeEmpty() throws Exception {if (isEmpty()) {throw new Exception("樹為空!");}}/** * search: 在二叉查找樹中查詢給定關(guān)鍵字 *  * @param key *            給定關(guān)鍵字 * @return 匹配給定關(guān)鍵字的樹結(jié)點(diǎn) */public TreeNode search(int key) {TreeNode pNode = root;while (pNode != null && pNode.key != key) {if (key < pNode.key) {pNode = pNode.leftChild;} else {pNode = pNode.rightChild;}}return pNode;}/** * minElemNode: 獲取二叉查找樹中的最小關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn) *  * @return 二叉查找樹的最小關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn) * @throws Exception *             若樹為空，則拋出異常 */public TreeNode minElemNode(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {throw new Exception("樹為空！");}TreeNode pNode = node;while (pNode.leftChild != null) {pNode = pNode.leftChild;}return pNode;}/** * maxElemNode: 獲取二叉查找樹中的最大關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn) *  * @return 二叉查找樹的最大關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn) * @throws Exception *             若樹為空，則拋出異常 */public TreeNode maxElemNode(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {throw new Exception("樹為空！");}TreeNode pNode = node;while (pNode.rightChild != null) {pNode = pNode.rightChild;}return pNode;}/** * successor: 獲取給定結(jié)點(diǎn)在中序遍歷順序下的后繼結(jié)點(diǎn) *  * @param node *            給定樹中的結(jié)點(diǎn) * @return 若該結(jié)點(diǎn)存在中序遍歷順序下的后繼結(jié)點(diǎn)，則返回其后繼結(jié)點(diǎn)；否則返回 null * @throws Exception */public TreeNode successor(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {return null;}// 若該結(jié)點(diǎn)的右子樹不為空，則其后繼結(jié)點(diǎn)就是右子樹中的最小關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn)if (node.rightChild != null) {return minElemNode(node.rightChild);}// 若該結(jié)點(diǎn)右子樹為空TreeNode parentNode = node.parent;while (parentNode != null && node == parentNode.rightChild) {node = parentNode;parentNode = parentNode.parent;}return parentNode;}/** * precessor: 獲取給定結(jié)點(diǎn)在中序遍歷順序下的前趨結(jié)點(diǎn) *  * @param node *            給定樹中的結(jié)點(diǎn) * @return 若該結(jié)點(diǎn)存在中序遍歷順序下的前趨結(jié)點(diǎn)，則返回其前趨結(jié)點(diǎn)；否則返回 null * @throws Exception */public TreeNode precessor(TreeNode node) throws Exception {if (node == null) {return null;}// 若該結(jié)點(diǎn)的左子樹不為空，則其前趨結(jié)點(diǎn)就是左子樹中的最大關(guān)鍵字結(jié)點(diǎn)if (node.leftChild != null) {return maxElemNode(node.leftChild);}// 若該結(jié)點(diǎn)左子樹為空TreeNode parentNode = node.parent;while (parentNode != null && node == parentNode.leftChild) {node = parentNode;parentNode = parentNode.parent;}return parentNode;}/** * insert: 將給定關(guān)鍵字插入到二叉查找樹中 *  * @param key *            給定關(guān)鍵字 */public void insert(int key) {TreeNode parentNode = null;TreeNode newNode = new TreeNode(key, null, null, null);TreeNode pNode = root;if (root == null) {root = newNode;return;}while (pNode != null) {parentNode = pNode;if (key < pNode.key) {pNode = pNode.leftChild;} else if (key > pNode.key) {pNode = pNode.rightChild;} else {// 樹中已存在匹配給定關(guān)鍵字的結(jié)點(diǎn)，則什么都不做直接返回return;}}if (key < parentNode.key) {parentNode.leftChild = newNode;newNode.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = newNode;newNode.parent = parentNode;}}/** * insert: 從二叉查找樹中刪除匹配給定關(guān)鍵字相應(yīng)的樹結(jié)點(diǎn) *  * @param key *            給定關(guān)鍵字 */public void delete(int key) throws Exception {TreeNode pNode = search(key);if (pNode == null) {throw new Exception("樹中不存在要?jiǎng)h除的關(guān)鍵字!");}delete(pNode);}/** * delete: 從二叉查找樹中刪除給定的結(jié)點(diǎn). *  * @param pNode *            要?jiǎng)h除的結(jié)點(diǎn) *  *            前置條件： 給定結(jié)點(diǎn)在二叉查找樹中已經(jīng)存在 * @throws Exception */private void delete(TreeNode pNode) throws Exception {if (pNode == null) {return;}if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild == null) { // 該結(jié)點(diǎn)既無左孩子結(jié)點(diǎn)，也無右孩子結(jié)點(diǎn)TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = null;} else {parentNode.rightChild = null;}return;}if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild != null) { // 該結(jié)點(diǎn)左孩子結(jié)點(diǎn)為空，右孩子結(jié)點(diǎn)非空TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = pNode.rightChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = pNode.rightChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;}return;}if (pNode.leftChild != null && pNode.rightChild == null) { // 該結(jié)點(diǎn)左孩子結(jié)點(diǎn)非空，右孩子結(jié)點(diǎn)為空TreeNode parentNode = pNode.parent;if (pNode == parentNode.leftChild) {parentNode.leftChild = pNode.leftChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;} else {parentNode.rightChild = pNode.leftChild;pNode.rightChild.parent = parentNode;}return;}// 該結(jié)點(diǎn)左右孩子結(jié)點(diǎn)均非空，則刪除該結(jié)點(diǎn)的后繼結(jié)點(diǎn)，并用該后繼結(jié)點(diǎn)取代該結(jié)點(diǎn)TreeNode successorNode = successor(pNode);delete(successorNode);pNode.key = successorNode.key;}/** * inOrderTraverseList: 獲得二叉查找樹的中序遍歷結(jié)點(diǎn)列表 *  * @return 二叉查找樹的中序遍歷結(jié)點(diǎn)列表 */public List<TreeNode> inOrderTraverseList() {if (nodelist != null) {nodelist.clear();}inOrderTraverse(root);return nodelist;}/** * inOrderTraverse: 對(duì)給定二叉查找樹進(jìn)行中序遍歷 *  * @param root *            給定二叉查找樹的根結(jié)點(diǎn) */private void inOrderTraverse(TreeNode root) {if (root != null) {inOrderTraverse(root.leftChild);nodelist.add(root);inOrderTraverse(root.rightChild);}}/** * toStringOfOrderList: 獲取二叉查找樹中關(guān)鍵字的有序列表 *  * @return 二叉查找樹中關(guān)鍵字的有序列表 */public String toStringOfOrderList() {StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {sbBuilder.append(p.key);sbBuilder.append(" ");}sbBuilder.append("]");return sbBuilder.toString();}/** * 獲取該二叉查找樹的字符串表示 */public String toString() {StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {sbBuilder.append(p);sbBuilder.append(" ");}sbBuilder.append("]");return sbBuilder.toString();}public TreeNode getRoot() {return root;}public static void testNode(BinarySearchTree bst, TreeNode pNode)throws Exception {System.out.println("本結(jié)點(diǎn): " + pNode);System.out.println("前趨結(jié)點(diǎn): " + bst.precessor(pNode));System.out.println("后繼結(jié)點(diǎn): " + bst.successor(pNode));}public static void testTraverse(BinarySearchTree bst) {System.out.println("二叉樹遍歷：" + bst);System.out.println("二叉查找樹轉(zhuǎn)換為有序列表: " + bst.toStringOfOrderList());}public static void main(String[] args) {try {BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree();System.out.println("查找樹是否為空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));int[] keys = new int[] { 15, 6, 18, 3, 7, 13, 20, 2, 9, 4 };for (int key : keys) {bst.insert(key);}System.out.println("查找樹是否為空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));TreeNode minkeyNode = bst.minElemNode(bst.getRoot());System.out.println("最小關(guān)鍵字： " + minkeyNode.getKey());testNode(bst, minkeyNode);TreeNode maxKeyNode = bst.maxElemNode(bst.getRoot());System.out.println("最大關(guān)鍵字： " + maxKeyNode.getKey());testNode(bst, maxKeyNode);System.out.println("根結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字： " + bst.getRoot().getKey());testNode(bst, bst.getRoot());testTraverse(bst);System.out.println("****************************** ");testTraverse(bst);} catch (Exception e) {System.out.println(e.getMessage());e.printStackTrace();}}}