機器學習——Logistic回歸

2019-11-14 17:44:03

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供稿：網友

參考《機器學習實戰》

利用Logistic回歸進行分類的主要思想：

根據現有數據對分類邊界線建立回歸公式，以此進行分類。

分類借助的Sigmoid函數：

Sigmoid函數圖：

Sigmoid函數的作用：

將所有特征都乘上一個回歸系數，然后將所有結果值相加，將這個總和代入Sigmoid函數中，進而得到一個0～1之間的數值。任何大于0.5的數據被分1類，小于0.5分入0類。

綜上，Sigmoid的輸入可以記為z：

所以向量w即是我們要通過最優化方法找的系數。

w向量的求解：

1）、梯度上升法（思想：沿函數梯度方向找函數最大值）

梯度上升法偽代碼：

更新w系數的細節實現代碼：

要注意的是，作者在這里dataMatrix的特征矢量維度比實際特征矢量多了一維。作者使用的數據是二維[x1,x2]，而程序中增加了一維[x0=1,x1,x2].奇怪的是x0加在了最前面的位置，而不是最后的位置。此外，上圖中畫紅線處的公式作者未給出由來，網上搜索了下，找到一篇博文，寫得還不錯。這里帖上點簡要概述：

具體過程如下：（參考:http://blog.csdn.net/yangliuy/article/details/18504921?reload）

參數概率方程：

其中x為訓練特征，y為x對應的類，θ為待估計參數

利用上式中y只取0或1的特點，剛好可以表示為:

似然函數：（這里就是Logistic Regression的目標函數，原書中并未指明，所以如果不網上找logistic的資料區先前學過機器學習，很無法理解書中的做法的）

對數似然函數：

所以極大似然估計：

從而得到梯度上升法的遞歸公式：

這里也就是上面的圖中，我畫紅線處公式的由來了。

這里再上傳下自己寫的代碼（未優化的logistic算法），代碼中的數據來源仍是《機器學習實戰》一書提供的數據：

#-*- coding:cp936 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltclass Log_REG():    def __init__(self):        self._closed=False            def loadData(self, dataFile='testSet.txt'):        f_file = open(dataFile)        lines = f_file.readlines()        line_data = lines[0].strip().split()        self.num_feature = len(line_data) - 1        self.xData = np.zeros((len(lines), self.num_feature + 1))        self.label = np.zeros((len(lines), 1))        self.num_label = len(lines)        line_cnt = 0        for iLine in lines:            line_data = iLine.strip().split()              for i in range(self.num_feature):                self.xData[line_cnt][i] = float(line_data[i])            self.xData[line_cnt][self.num_feature] = 1            self.label[line_cnt] = float(line_data[-1])            line_cnt+=1        def _sigmoid(self, z):        return 1.0 / (1 + np.exp(-z))        def gradAscendClass(self):        maxIter = 500        self.omiga = np.ones((1, self.num_feature+1))        xDataMat = np.matrix(self.xData)        alpha = 0.01        self.omiga_record=[]        for i in range(maxIter):            h = self._sigmoid(self.omiga * xDataMat.transpose())  # 矩陣乘            error = self.label - h.transpose()            self.omiga = self.omiga + alpha * (xDataMat.transpose()*error).transpose()             self.omiga_record.append(self.omiga)            if np.sum(np.abs(error)) < self.num_label * 0.05:                PRint  "error very low",i                break        def stochasticGradAscend(self):        pass#         maxIter = 150#         self.omiga = np.ones((1,self.num_feature+1))#         for     def plotResult(self):        self._close()        if self.num_feature != 2:            print "Only plot data with 2 features!"            return        label0x = []        label0y = []        label1x = []        label1y = []        for i in range(self.num_label):            if int(self.label[i]) == 1:                label1x.append(self.xData[i][0])                label1y.append(self.xData[i][1])            else:                label0x.append(self.xData[i][0])                label0y.append(self.xData[i][1])        fig = plt.figure()        ax = fig.add_subplot(111)        ax.scatter(label0x, label0y, c='b',marker='o')        ax.scatter(label1x, label1y, c='r',marker='s')                minx = min(min(label0x),min(label1x))        maxx = max(max(label0x),max(label1x))        wx = np.arange(minx,maxx,0.1)        wy = (-self.omiga[0,2]-self.omiga[0,0]*wx)/self.omiga[0,1]         ax.plot(wx,wy)                def plotIteration(self):        self._close()        iterTimes = len(self.omiga_record)        w0=[i[0][0,0] for i in self.omiga_record]        w1=[i[0][0,1] for i in self.omiga_record]        w2=[i[0][0,2] for i in self.omiga_record]        fig = plt.figure()        ax1 = fig.add_subplot(3,1,1)        ax1.plot(range(iterTimes),w0,c='b')#,marker='*')        plt.xlabel('w0')        ax2 = fig.add_subplot(3,1,2)        ax2.plot(range(iterTimes),w1,c='r')#,marker='s')        plt.xlabel('w1')        ax3 = fig.add_subplot(3,1,3)        ax3.plot(range(iterTimes),w2,c='g')#,marker='o')        plt.xlabel('w2')    def show(self):        plt.show()    def _close(self):        pass                            if __name__ =='__main__':    testclass = Log_REG()    testclass.loadData()    testclass.gradAscendClass()    testclass.plotResult()        testclass.plotIteration()    testclass.show()

顯示結果：

分類結果

分類參數收斂結果

梯度上升（或下降）算法的改進：

當數據量很大時，上述梯度上升算法每次迭代都要對所有數據進行處理，會造成計算量異常龐大。解決的方法是引入隨機梯度的思想。

隨機梯度下降的基本原理是：不直接計算梯度的精確值，而是用梯度的無偏估計g(w)來代替梯度：

實際操作時，隨機地選取單個數據而非整個數據集參與迭代，詳細的原理推導可參見：http://www.52ml.net/2024.html

改進的隨機梯度上升法：

def stochasticGradAscend2(self):        maxIter = 150        self.omiga = np.ones((1,self.num_feature+1))        self.omiga_record=[]                for j in range(maxIter):            randRange = range(self.xData.shape[0])            for i in range(self.xData.shape[0]):                alpha = 4/(1.0+i+j)+0.01                randIndex  = int(random.uniform(0,len(randRange)-1))                index = randRange[randIndex]                h = self._sigmoid(np.matrix(self.omiga)[0]*np.matrix(self.xData[index,:]).transpose())                error = self.label[index]-h                                self.omiga  = self.omiga+alpha*error*self.xData[index,:]                self.omiga_record.append(np.matrix(self.omiga))                del(randRange[randIndex])