f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));

顏書先生《“裝錯信封問題”的數學模型與求解》一文（見《數學通報》 2000 年第 6 期 p.35 ），給出了該經典問題的一個模型和求解公式：

編號為 1 ， 2 ，……， n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同，則稱這個排列為 n 個不同元素的一個錯排。記 n 個不同元素的錯排總數為 f(n) ，則

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）

本文從另一角度對這個問題進行一點討論。

1. 一個簡單的遞推公式

n 個不同元素的一個錯排可由下述兩個步驟完成：

第一步，“錯排” 1 號元素（將 1 號元素排在第 2 至第 n 個位置之一），有 n - 1 種方法。

第二步，“錯排”其余 n - 1 個元素，按如下順序進行。視第一步的結果，若 1 號元素落在第 k 個位置，第二步就先把 k 號元素“錯排”好， k 號元素的不同排法將導致兩類不同的情況發生：（ 1 ） k 號元素排在第 1 個位置，留下的 n - 2 個元素在與它們的編號集相等的位置集上“錯排”，有 f(n -2) 種方法；（ 2 ） k 號元素不排第 1 個位置，這時可將第 1 個位置“看成”第 k 個位置，于是形成（包括 k 號元素在內的） n - 1 個元素的“錯排”，有 f(n - 1) 種方法。據加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 種方法。

根據乘法原理， n 個不同元素的錯排種數

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 （ 2 ）

Ps: HDOJ-1645

#include<iostream>  #include<string.h>  #include<math.h>  #include<queue>  using namespace std;  int n,i;  long long s[27];  int main()  {       s[0]=0; s[1]=0; s[2]=1;      for (i=3;i<=20;i++)         s[i]=(i-1)*(s[i-1]+s[i-2]);           while (cin>>n)         cout<<s[n]<<endl;        return 0;  }