前言

算法很重要，但是一般情況下做移動開發(fā)并不經(jīng)常用到，所以很多同學(xué)早就將算法打了個大禮包送還給了老師了，況且很多同學(xué)并沒有學(xué)習(xí)過算法。這個系列就讓對算法頭疼的同學(xué)能快速的掌握基本的算法。過年放假階段玩了會游戲NBA2K17的生涯模式，沒有比賽的日子也都是訓(xùn)練，而且這些訓(xùn)練都是自發(fā)的，沒有人逼你，從早上練到晚上，屬性也不漲，但是如果日積月累，不訓(xùn)練和訓(xùn)練的人的屬性值就會產(chǎn)生較大差距。這個突然讓我意識到了現(xiàn)實世界，要想成為一個球星（技術(shù)大牛）那就需要日積月累的刻意訓(xùn)練，索性放下游戲，接著寫文章吧。

1.算法的效率

雖然計算機能快速的完成運算處理，但實際上，它也需要根據(jù)輸入數(shù)據(jù)的大小和算法效率來消耗一定的處理器資源。要想編寫出能高效運行的程序，我們就需要考慮到算法的效率。 算法的效率主要由以下兩個復(fù)雜度來評估： 時間復(fù)雜度：評估執(zhí)行程序所需的時間。可以估算出程序?qū)μ幚砥鞯氖褂贸潭取?空間復(fù)雜度：評估執(zhí)行程序所需的存儲空間。可以估算出程序?qū)τ嬎銠C內(nèi)存的使用程度。

設(shè)計算法時，一般是要先考慮系統(tǒng)環(huán)境，然后權(quán)衡時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，選取一個平衡點。不過，時間復(fù)雜度要比空間復(fù)雜度更容易產(chǎn)生問題，因此算法研究的主要也是時間復(fù)雜度，不特別說明的情況下，復(fù)雜度就是指時間復(fù)雜度。

2.時間復(fù)雜度

時間頻度 一個算法執(zhí)行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。并且一個算法花費的時間與算法中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，哪個算法中語句執(zhí)行次數(shù)多，它花費時間就多。一個算法中的語句執(zhí)行次數(shù)稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。

時間復(fù)雜度 前面提到的時間頻度T(n)中，n稱為問題的規(guī)模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現(xiàn)什么規(guī)律，為此我們引入時間復(fù)雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是問題規(guī)模n的某個函數(shù)，用T(n)表示，若有某個輔助函數(shù)f(n)，使得當n趨近于無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱f(n)是T(n)的同數(shù)量級函數(shù)，記作T(n)=O(f(n))，它稱為算法的漸進時間復(fù)雜度，簡稱時間復(fù)雜度。

3.大O表示法

像前面用O( )來體現(xiàn)算法時間復(fù)雜度的記法，我們稱之為大O表示法。 算法復(fù)雜度可以從最理想情況、平均情況和最壞情況三個角度來評估，由于平均情況大多和最壞情況持平，而且評估最壞情況也可以避免后顧之憂，因此一般情況下，我們設(shè)計算法時都要直接估算最壞情況的復(fù)雜度。 大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n2等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n2)分別可以稱為常數(shù)階、線性階、對數(shù)階和平方階，那么如何推導(dǎo)出f(n)的值呢？我們接著來看推導(dǎo)大O階的方法。

推導(dǎo)大O階 推導(dǎo)大O階，我們可以按照如下的規(guī)則來進行推導(dǎo)，得到的結(jié)果就是大O表示法： 1.用常數(shù)1來取代運行時間中所有加法常數(shù)。 2.修改后的運行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項 3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數(shù)。

常數(shù)階 先舉了例子，如下所示。

上面算法的運行的次數(shù)的函數(shù)為f(n)=3，根據(jù)推導(dǎo)大O階的規(guī)則1，我們需要將常數(shù)3改為1，則這個算法的時間復(fù)雜度為O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語句再執(zhí)行10遍，因為這與問題大小n的值并沒有關(guān)系，所以這個算法的時間復(fù)雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之為常數(shù)階。

線性階 線性階主要要分析循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行情況，如下所示。

上面算法循環(huán)體中的代碼執(zhí)行了n次，因此時間復(fù)雜度為O(n)。

對數(shù)階 接著看如下代碼：

可以看出上面的代碼，隨著number每次乘以2后，都會越來越接近n，當number不小于n時就會退出循環(huán)。假設(shè)循環(huán)的次數(shù)為X，則由2^x=n得出x=log?n，因此得出這個算法的時間復(fù)雜度為O(logn)。

平方階 下面的代碼是循環(huán)嵌套：

內(nèi)層循環(huán)的時間復(fù)雜度在講到線性階時就已經(jīng)得知是O(n)，現(xiàn)在經(jīng)過外層循環(huán)n次，那么這段算法的時間復(fù)雜度則為O(n2)。 接下來我們來算一下下面算法的時間復(fù)雜度：

需要注意的是內(nèi)循環(huán)中int j=i，而不是int j=0。當i=0時，內(nèi)循環(huán)執(zhí)行了n次；i=1時內(nèi)循環(huán)執(zhí)行了n-1次，當i=n-1時執(zhí)行了1次，我們可以推算出總的執(zhí)行次數(shù)為：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 =(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+…… =(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…… =(n+1)n/2 =n(n+1)/2 =n2/2+n/2

根據(jù)此前講過的推導(dǎo)大O階的規(guī)則的第二條：只保留最高階，因此保留n2/2。根據(jù)第三條去掉和這個項的常數(shù)，則去掉1/2,最終這段代碼的時間復(fù)雜度為O(n2)。

其他常見復(fù)雜度

除了常數(shù)階、線性階、平方階、對數(shù)階，還有如下時間復(fù)雜度： f(n)=nlogn時，時間復(fù)雜度為O(nlogn)，可以稱為nlogn階。 f(n)=n3時，時間復(fù)雜度為O(n3)，可以稱為立方階。 f(n)=2?時，時間復(fù)雜度為O(2?)，可以稱為指數(shù)階。 f(n)=n!時，時間復(fù)雜度為O(n!)，可以稱為階乘階。 f(n)=(√n時，時間復(fù)雜度為O(√n)，可以稱為平方根階。

4.復(fù)雜度的比較

下面將算法中常見的f(n)值根據(jù)幾種典型的數(shù)量級來列成一張表，根據(jù)這種表，我們來看看各種算法復(fù)雜度的差異。

從上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )隨著n的增加，復(fù)雜度提升不大，因此這些復(fù)雜度屬于效率高的算法，反觀O(2?)和O(n!)當n增加到50時，復(fù)雜度就突破十位數(shù)了，這種效率極差的復(fù)雜度最好不要出現(xiàn)在程序中，因此在動手編程時要評估所寫算法的最壞情況的復(fù)雜度。

下面給出一個更加直觀的圖：

其中x軸代表n值，y軸代表T(n)值（時間復(fù)雜度）。T(n)值隨著n的值的變化而變化，其中可以看出O(n!)和O(2?)隨著n值的增大，它們的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)隨著n值的增大，T(n)值上升幅度則很小。 常用的時間復(fù)雜度按照耗費的時間從小到大依次是：

參考資料 《大話數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》 《挑戰(zhàn)程序設(shè)計競賽2》 《算法》

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