一千個圓零一個姑娘http://www.withparadox2.com/archives/90#comments

我參考Hanson在1960年發表的一篇論文（點擊這里查看）做了這個動畫。如果你看過我之前的一篇名為《圖片迷宮》的文章，便不會對下面這位女同學感到陌生。與上次不一樣，這一次我先征得了她的同意方才對照片進行了大刀闊斧的處理，由于手藝不好，勾勒出的人物效果也不盡人意，在此對她表達深深的歉意。

這個動畫實際是一套行星圓系統，設想太陽不動，地球繞著太陽轉，月球繞著地球轉，XX繞著月球轉……圓越多，得出的形狀也就越復雜。Hanson在論文中論證了，如果給出的圓足夠多，理論上是可以得出任何形狀的軌跡線。下面簡要介紹一下基本的制作步驟。

1，處理圖片首先需要勾勒出線條圖，最好能夠一筆從頭畫到尾。但在這個圖里，由于人物的眉毛、嘴巴的存在，沒辦法一筆畫出來，我采取的辦法是加上輔助線，最后作圖時將輔助線抹掉。

然后通過下面這段代碼將上面的位圖轉化為坐標，但這里線段的順序是亂的，需要很大的耐心去手動調整。目前沒找到好的方法。

pic = Import["location of your picture"];lcp = ListCurvePathPlot@   Position[ImageData[Thinning@Binarize[ColorNegate@pic]], 1];lines = Cases[lcp[[1, 1, 3]], _Line] /. {x_Real, y_Real} :> {y, -x};
2，復數及傅里葉變換下面僅簡單介紹一下與本文有關的知識，更具體的內容參看其他資料。對于平面上的一點，可以用復數z=x+iy來表示，極坐標形式為z=reiθ。對于一個以坐標c=x+iy為圓心，以ρ為半徑，以T為周期，以α為初始角的圓周運動，可用下式表示（其中t代表時間）：
z=c+ρei(2πt/T+α)例如當t=t0時，點的坐標為：z=c+ρei(2πt0/T+α)=x+iy+ρ?cos(2πt/T+α)+iρ?sin(2πt/T+α)=(x+ρ?cos(2πt/T+α)+i(y+ρ?sin(2πt/T+α)))若f(t)表示運動的點的軌跡，那么以此點為圓心做圓周運動的點可以表示為：z=f(t)+ρ1ei(2πt/T1+α1)對于N個圓，除了第一個圓心是固定點（c=x+iy）外，還剩下N個運動的點（除了N-1個運動的圓心，第N個圓上還有一個運動的點），由上可得出第N個圓上點的軌跡：z=c+∑k=1N?1ρkei(2πt/Tk+αk)事實上，這已經和復數的離散傅里葉變換有了絕大部分的相似，下面就越來越簡單了。首先，將之前得到的圖片坐標轉化為復數坐標，即：(x,y)→x+iy，然后對這N個復數進行傅里葉變換，得到X[k]，然后再用逆變換通過另一種形式得到原來的坐標：x[n]=∑k=0N?1X[k]ej2πkn/N令n/N=t，k=1/Tk。上面ρk為實數，這里X[k]為復數，好像不一樣。那是因為X[k]中既包括了半徑，也包括了初始角，進一步變換可知：x[t]=∑k=0N?1X[k]ej2πt/Tk=X[0]+∑k=1N?1|X[k]|X[k]|X[k]|ej2πt/Tk=X[0]+∑k=1N?1|X[k]|ejαkej2πt/Tk=X[0]+∑k=1N?1|X[k]|ej(2πt/Tk+αk)=X[0]+∑k=1N?1|X[k]|ej(2πt/Tk+αk)這里的|X[k]|便是圓的半徑，通過求和得到圓心坐標，當改變t(0?t?1)，圓心坐標就會得到更新，從而生成連續動畫。
在作圖時，可以根據半徑大小排序，將半徑小的作為“筆尖”，并且可以去掉一些半徑太小的圓。
3，一千個圓零一個姑娘【看原址，辣雞CSDN傳不上】