1. 問題描述

子串應該比較好理解，至于什么是子序列，這里給出一個例子：有兩個母串

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過并且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblogs,belong），最長公共子串為lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

對于母串X=<x1,x2,?,xm>

，求LCS與最長公共子串。

暴力解法

假設 m<n

。顯然，暴力求解不太適用于此類問題。

動態規劃

假設Z=<z1,z2,?,zk>

的LCS， 我們觀察到

因此，求解LCS的問題則變成遞歸求解的兩個子問題。但是，上述的遞歸求解的辦法中，重復的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用數組保存中間狀態，方便后面的計算。這就是動態規劃（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二維數組c[i][j]記錄串x1x2?xi

代碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;            } else {                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);            }        }    }    return c[len1][len2];}
DP求解最長公共子串
前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義數組的存儲含義對于后面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的數組定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維數組c[i,j]
用來記錄具有這樣特點的子串——結尾為母串x1x2?xi與y1y2?yj
的結尾——的長度。
得到轉移方程：
c[i,j]=?????0c[i?1,j?1]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yj
最長公共子串的長度為 max(c[i,j]), i∈{1,?,m},j∈{1,?,n}
。
代碼實現
public static int lcs(String str1, String str2) {    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int result = 0;     //記錄最長公共子串長度    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];    for (int i = 0; i <= len1; i++) {        for( int j = 0; j <= len2; j++) {            if(i == 0 || j == 0) {                c[i][j] = 0;            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;                result = max(c[i][j], result);            } else {                c[i][j] = 0;            }        }    }    return result;}
原文鏈接:http://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html