Description

　　大富翁國因為通貨膨脹，以及假鈔泛濫，政府決定推出一項新的政策：現有鈔票編號范圍為1到N的階乘，但是，政府只發行編號與M!互質的鈔票。房地產第一大戶沙拉公主決定預測一下大富翁國現在所有真鈔票的數量。現在，請你幫助沙拉公主解決這個問題，由于可能張數非常大，你只需計算出對R取模后的答案即可。R是一個質數。

Input

第一行為兩個整數T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示該組中測試數據數目，R為模后面T行，每行一對整數N，M，見題目描述 m<=n

Output

共T行，對于每一對N，M，輸出1至N！中與M！素質的數的數量對R取模后的值

Sample Input

Sample Output

HINT

Source

題解：線性篩+數論

如果gcd(a,b)==1，那么gcd(a+b,b)=1

怎么證明呢？假設gcd(a+b,b)=m(m!=1)

a+b=k1*m b=k2*m a=(k1-k2)*m gcd(a,b)=m與gcd(a,b)=1矛盾。

那么這道題的答案就是phi(m!)*(n!/m!)

帶入上式中，∏(1-1/pi)*n! 其中pi是m!的質因子

這道題在bzoj中模數應該都是質數，所以可以用O(n)的時間預處理逆元。

令p = x * i –y ( 0 < y < i)

X* i = y (mod p)

X* F[y] * i = y * F[y] = 1(mod p)

所以i的逆元是F[i] = X* F[y]

對于連乘和階乘也可以預處理，所以最后直接查詢答案即可。

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cstring>  #include<algorithm>  #include<cmath>  #define LL long long  #define N1 10000000  using namespace std;  bool pd[N1+7];int t,PRime[N1+7],mp[N1+7],n[10003],m[10003],N,f[N1+7],jc[N1+7];  LL p,ans[N1+7];  void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)  {      if (!b) {          x=1; y=0; return;      }      exgcd(b,a%b,x,y);      LL t=y;      y=x-(a/b)*y;      x=t;  }  LL inv(LL a,LL b)  {      LL x,y;      exgcd(a,b,x,y);      return x;  }  void init()  {      for (int i=2;i<=N;i++) {          if (!pd[i]) prime[++prime[0]]=i,mp[i]=prime[0];        for (int j=1;j<=prime[0];j++) {              if (i*prime[j]>N) break;              pd[i*prime[j]]=1;              if (i%prime[j]==0) break;           }      }      jc[0]=jc[1]=1;      for (int i=2;i<=N;i++) {        LL t=(LL)jc[i-1]*i%p;        jc[i]=(int)t;    }     f[0]=f[1]=1;      for (int i=2;i<=N;i++) {     LL t=(LL)((p-p/i)*f[p%i])%p;     f[i]=(int)t;    }    ans[1]=1;    for (int i=2;i<=N;i++) {          ans[i]=ans[i-1];         if (!pd[i]) ans[i]=ans[i]*(LL)(i-1)%p*f[i%p]%p;    }  }  int main()  {      scanf("%d%lld",&t,&p);      for (int i=1;i<=t;i++)  scanf("%d%d",&n[i],&m[i]),N=max(n[i],N);     init();    for (int i=1;i<=t;i++)     printf("%lld/n",(LL)jc[n[i]]*ans[m[i]]%p);}