本文主要介紹了高斯濾波器的原理及其實現過程

高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內的像素的均值作為輸出。其窗口模板的系數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板系數都是相同的為1；而高斯濾波器的模板系數，則隨著距離模板中心的增大而系數減小。所以，高斯濾波器相比于均值濾波器對圖像個模糊程度較小。

什么是高斯濾波器

既然名稱為高斯濾波器，那么其和高斯分布（正態分布）是有一定的關系的。一個二維的高斯函數如下： h(x,y)=e?x2+y22σ2 $$h(x,y) = e ^ {- /frac{x^2 + y^2}{2/sigma ^ 2}}$$ 其中(x,y)$(x,y)$為點坐標，在圖像處理中可認為是整數；σ$/sigma$是標準差。要想得到一個高斯濾波器的模板，可以對高斯函數進行離散化，得到的高斯函數值作為模板的系數。例如：要產生一個3×3$3 /times 3$的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標原點進行取樣。模板在各個位置的坐標，如下所示（x軸水平向右，y軸豎直向下） 這樣，將各個位置的坐標帶入到高斯函數中，得到的值就是模板的系數。 對于窗口模板的大小為 (2k+1)×(2k+1)$(2k + 1) /times (2k + 1)$，模板中各個元素值的計算公式如下： Hi,j=12πσ2e?(i?k?1)2+(j?k?1)22σ2 $$H_{i,j} = /frac{1}{2/pi /sigma ^ 2}e ^{-/frac{(i - k - 1)^2 + (j - k - 1)^2}{2 /sigma ^ 2}}$$ 這樣計算出來的模板有兩種形式：小數和整數。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，實現起來也就不困難了

需要一個二維數組，存放生成的系數（這里假設模板的最大尺寸不會超過11）；第二個參數是模板的大小（不要超過11）；第三個參數就比較重要了，是高斯分布的標準差。 生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。 然后就是遍歷，根據高斯分布的函數，計算模板中每個系數的值。 需要注意的是，最后歸一化的過程，使用模板左上角的系數的倒數作為歸一化的系數（左上角的系數值被歸一化為1），模板中的每個系數都乘以該值（左上角系數的倒數），然后將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。 下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.8$3 /times 3,/sigma = 0.8$的模板 對上述解結果取整后得到如下模板： 116???121242121??? $$/frac{1}{16}/left[ /begin{array}{c} 1 & 2 & 1 // 2 & 4 & 2 // 1 & 2 & 1 /end{array} /right]$$ 這個模板就比較熟悉了，其就是根據σ=0.8$/sigma = 0.8$的高斯函數生成的模板。

至于小數形式的生成也比較簡單，去掉歸一化的過程，并且在求解過程后，模板的每個系數要除以所有系數的和。具體代碼如下：

3×3,σ=0.8$3 /times 3,/sigma = 0.8$的小數型模板。

σ$/sigma$值的意義及選取

通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的參數就是高斯分布的標準差σ$/sigma$。標準差代表著數據的離散程度，如果σ$/sigma$較小，那么生成的模板的中心系數較大，而周圍的系數較小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯；反之，σ$/sigma$較大，則生成的模板的各個系數相差就不是很大，比較類似均值模板，對圖像的平滑效果比較明顯。

來看下一維高斯分布的概率分布密度圖： 橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σ$/sigma$（標準差）決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：σ$/sigma$越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩；σ$/sigma$越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬（分布越分散）；同理，當σ$/sigma$越小時，說明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄！ 于是可以得到如下結論： σ$/sigma$越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類似于平均模板； σ$/sigma$越小，分布越集中，中間部分所占比重遠遠高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠遠大于其他元素值，于是自然而然就相當于中間值得點運算。

基于OpenCV的實現

在生成高斯模板好，其簡單的實現和其他的空間濾波器沒有區別，具體代碼如下：

只處理單通道或者三通道圖像，模板生成后，其濾波（卷積過程）就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其循環運算次數為m×n×ksize2$m /times n /times ksize^2$，其中m，n為圖像的尺寸；ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間復雜度為O(ksize2)$O(ksize^2)$，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長，當高斯濾波器的尺寸較大時，其運算效率是極低的。為了，提高濾波的運算速度，可以將二維的高斯濾波過程分解開來。

分離實現高斯濾波

由于高斯函數的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進行：首先將圖像在水平（豎直）方向與一維高斯函數進行卷積；然后將卷積后的結果在豎直（水平）方向使用相同的一維高斯函數得到的模板進行卷積運算。具體實現代碼如下：

代碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函數的模板，在卷積（濾波）的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算；接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。 這樣分解開來，算法的時間復雜度為O(ksize)$O(ksize)$，運算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長。

在OpenCV也有對高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其聲明如下：

二維高斯函數的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的代碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設置不同的標準差。 下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比 上圖是5×5,σ=0.8$5/times5,/sigma = 0.8$的高斯濾波器，可以看出兩個實現得到的結果沒有很大的區別。

總結

高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函數離散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波后的結果相對于均值濾波器來說更好。 高斯濾波器最重要的參數就是高斯分布的標準差σ$/sigma$，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，σ$/sigma$越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對圖像的平滑程度就越好。通過調節σ$/sigma$參數，可以平衡對圖像的噪聲的抑制和對圖像的模糊。