Description

　　致力于建設全國示范和諧小村莊的H村村長dadzhi，決定在村中建立一個瞭望塔，以此加強村中的治安。我們將H村抽象為一維的輪廓。如下圖所示 我們可以用一條山的上方輪廓折線(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)來描述H村的形狀，這里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]間的任意位置, 但必須滿足從瞭望塔的頂端可以看到H村的任意位置。可見在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。為了節省開支，dadzhi村長希望建造的塔高度盡可能小。請你寫一個程序，幫助dadzhi村長計算塔的最小高度。

Input

　　第一行包含一個整數n，表示輪廓折線的節點數目。接下來第一行n個整數, 為x1 ~ xn. 第三行n個整數，為y1 ~ yn。

Output

　　僅包含一個實數，為塔的最小高度，精確到小數點后三位。

Sample Input

Sample Output

HINT

 N ≤ 300，輸入坐標絕對值不超過106，注意考慮實數誤差帶來的問題。

Source

題解：半平面交

這道題邊界要到1e11,精度控制要到1e-9，否則過不了。。。

解法就是對于相鄰的兩個點構造向量，求半平面交。

半平面交求得的區域就是可以建瞭望塔的區域，然后就是求得到的區域的邊界與下方折線的邊界的最近距離。

這個最短距離只可能出現在上下邊界的頂點上，所以計算出來取最小值即可。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#define N 303#define eps 1e-9using namespace std;const double inf=1e11;int n,m;struct vector{	double x,y;	vector (double X=0,double Y=0) {		x=X,y=Y;	}}p[N],line[N],a[N],tmp[N];bool Operator <(vector a,vector b){	return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y;}vector operator -(vector a,vector b){	return vector (a.x-b.x,a.y-b.y);}vector operator +(vector a,vector b){	return vector (a.x+b.x,a.y+b.y);}vector operator *(vector a,double val){	return vector (a.x*val,a.y*val);}double cross(vector a,vector b){	return a.x*b.y-a.y*b.x;}void init(){	m=0;	p[m++]=vector(0,0);	p[m++]=vector(inf,0);	p[m++]=vector(inf,inf);	p[m++]=vector(0,inf);}int dcmp(double x){	if (fabs(x)<eps) return 0;	if (x>0) return 1;	else return -1;}vector glt(vector a,vector a1,vector b,vector b1){	vector v=a1-a; vector w=b1-b;	vector u=a-b;	double t=cross(w,u)/cross(v,w);	return a+v*t;}void cut(vector a,vector b){	int cnt=0;	memset(tmp,0,sizeof(tmp));	for (int i=0;i<m;i++) {		double c=cross(b-a,p[i]-a);		double d=cross(b-a,p[(i+1)%m]-a);		if (dcmp(c)<=0) tmp[cnt++]=p[i];		if (dcmp(c*d)<0) 		 tmp[cnt++]=glt(a,b,p[i],p[(i+1)%m]);	}	m=cnt;	//cout<<m<<endl;	for (int i=0;i<cnt;i++) p[i]=tmp[i];}int main(){	freopen("tower.in","r",stdin);	freopen("tower.out","w",stdout);	scanf("%d",&n);	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].y);	double mn=inf;	init();	for(int i=2;i<=n;i++) cut(a[i],a[i-1]);	for(int i=0;i<m;i++) {		if (p[i].x==0||p[i].x==inf) continue;		int l=1; int r=n; int ans=0;		while (l<=r) {			int mid=(l+r)/2;			if (a[mid].x<=p[i].x) ans=max(ans,mid),l=mid+1;			else r=mid-1;		}		l=ans;		double k=(a[l+1].y-a[l].y)/(a[l+1].x-a[l].x);		double b=a[l].y-k*a[l].x;		double v=k*p[i].x+b;		mn=min(mn,p[i].y-v);	}	//for (int i=0;i<m;i++) PRintf("%.3lf %.3lf/n",p[i].x,p[i].y);	int cnt=0;	for (int i=0;i<m;i++) 	 if (p[i].y!=inf||(p[i].x!=inf&&p[i].x!=0)) p[cnt++]=p[i];	m=cnt;	sort(p,p+m);	//for (int i=0;i<m;i++) printf("%.3lf %.3lf/n",p[i].x,p[i].y);	for (int i=1;i<=n;i++) {		int l=0; int r=m-1; int ans=0;		while (l<=r) {			int mid=(l+r)/2;			if (p[mid].x<=a[i].x) ans=max(ans,mid),l=mid+1;			else r=mid-1;		}		l=ans;		double k=(p[l+1].y-p[l].y)/(p[l+1].x-p[l].x);		double b=p[l].y-k*p[l].x;		double v=k*a[i].x+b; //printf("%.3lf/n",v);		mn=min(mn,v-a[i].y);	}	printf("%.3lf/n",mn+eps);}