現(xiàn)在繼續(xù)討論衛(wèi)星的個數(shù)：如果一切理想的話，四顆衛(wèi)星就可以確定三維坐標(biāo)。但實際中，由于user clock inaccuracy，所以還需要一顆衛(wèi)星來排除時鐘的漂移導(dǎo)致的錯誤。因此，需要５顆衛(wèi)星！但是，如果強(qiáng)行用4顆衛(wèi)星的話，由于有時鐘誤差，計算結(jié)果有兩個位置，一個close to the surface,一個在space,而在space的可以容易排除，因此也能用4顆，說得比較繞！下圖就說明為啥是二次方程組了，為啥需要四顆衛(wèi)星了，因為有四個未知數(shù)：xu,yu,zu, and bu(時鐘誤差) 
通常接受的衛(wèi)星信號來自4~11顆，有兩種方法，一種是全部使用，另一種是選用４顆，選用的標(biāo)準(zhǔn)是四顆衛(wèi)星位置越獨立越好，見Fig.2.8.所謂越獨立，就是四個位置的連線組成的四邊形面積越大越好，所以圖(a)就不好，三個衛(wèi)星在一條線，圖(b)就好，能形成一個四邊形！ 
多普勒效應(yīng)：衛(wèi)星速度3874m/s,對地面user的相對速度就是vd=vs*sin(beta)，最大的相對速度為929m/s. 最小就是0（當(dāng)錘直的時候）最大的多普勒頻移是4.9khz.也就是說多普勒的范圍是-5khz~5khz。 
5.注意，多普勒的計算如下：多普勒頻移和發(fā)射信號的載頻有關(guān)系，成正比，下圖中：fr就是信號頻率，這里就是用的gps射頻信號載頻計算得到載頻的多普勒頻移；如果是對c/a code而言，多普勒影響就很小，因為c/a碼的頻率是1.023mhz,所以：只有3.2HZ。也就是說多普勒本質(zhì)是一個相對概念。相對誰呢？相對發(fā)送信號源的運動速度，還相對發(fā)送源的電磁波的”運動”速度(就是:電磁波的頻率啦) 
繼續(xù)討論多普勒的影響，假設(shè)地面的接收機(jī)是高速運動，那么對c/a碼而言最大的多普勒就是6.4hz. 6.4hz在物理上意味著什么？如果c/a碼的采樣率是5mhz,那么每個碼片長200ns, tracking的任務(wù)就是讓本地產(chǎn)生的c/a碼和接收到的信號對齊，或者至少讓時間差距小于半個碼片，100ns。由于doppler的原因，6.4hz就是說1秒導(dǎo)致6.4次變化，對c/a碼來說一次變化就是一個1.023mhz的倒數(shù)(977.5ns)的長度，所以：每經(jīng)過1/6.4＝156.3ms的時間就會漂移977.5ns，或者說沒16ms就漂移100ns.也就是說，如果采樣率5mhz,那么我們每隔16ms就要檢查是否對齊，否則就跟蹤不上了！研究多普勒，除了看絕對值，還看變化率，也就是高階函數(shù)，才算對這個多普勒認(rèn)識清楚。比如，多普勒平均變化率，如果只考慮衛(wèi)星運動，那么這個平均值只有0.54hz/s；由于變化率不是均勻的，有的角度變化率大，有的角度變化率小，那么還需要找最大的變化率，就是0.936hz/s，可以看出最大的變化率比均值大很多。上面是假設(shè)接收機(jī)stationary，如果接收機(jī)是在aircraft上，那么加速度很大的時候，例如：1g(
下面公式就表示了L1用qpsk同時傳送p碼和c/a碼。由于衛(wèi)星高度為2萬公里，所以信號強(qiáng)度很微弱，-130dbm左右，所以用c/a碼的作用之一就是得到擴(kuò)頻碼的擴(kuò)頻增益！ 
cdma信號：這個比較熟悉。這里復(fù)習(xí)一下：如果碼片的速率高于信號速率，就是擴(kuò)頻系統(tǒng)；如果碼片率是1mhz,那么由于碼片翻轉(zhuǎn)在時域上是一個矩形窗口，則在頻率上就是一個sinc函數(shù)，而且main lobe的帶寬就是2mhz. 問題：這里需要用成型濾波啊？p碼的碼片速率是10.23mhz,所以根據(jù)上文介紹，頻譜帶寬就是20.46mhz,碼片length就是1/10.23=97.8ns,p碼是PRN碼(pseudorandom noise code),周期一共有38周（超過半年才能循環(huán)一次），實際中是每一周就復(fù)位一次。c/a碼的碼片速率是1.023mhz,所以帶寬就是2.046mhz,每個碼片length是977.5ns. c/a碼周期就短，只有1023個碼片，因此一個周期就是1ms。c/a碼本質(zhì)就是gold碼。gps幀結(jié)構(gòu)：衛(wèi)星導(dǎo)航數(shù)據(jù)率是50hz,那么一個bit需要20ms，因此一個bit就對應(yīng)20個c/a碼周期，算很長了；30個導(dǎo)航數(shù)據(jù)bit構(gòu)成一個Word; 10個word又構(gòu)成一個subframe（６秒）；5個subframe構(gòu)成一個page（３０秒）；25個page構(gòu)成一個superframe. c/a碼產(chǎn)生：由兩個1023-PRN 序列產(chǎn)生器產(chǎn)生的gold碼。每個序列發(fā)生器都是由10比特的移位寄存器組成。衛(wèi)星的identification(id)就是由序列的相位決定的，一共有37個獨立的相位位置，其中32個用來c/a碼，當(dāng)時只有24顆衛(wèi)星在軌，所以只分配了24個相位。如下圖：不同的c/a碼從G2不同的抽頭輸出，這個要仔細(xì)研究gold碼，看為什么不同抽頭的相位獨立。第二次看的時候，又觀察了下圖，發(fā)現(xiàn)G2輸出不是從最后一個位置輸出，而是從中間選取兩個位置的輸出經(jīng)過模二加之后再輸出，雖然兩兩組合的可能理論上有45(10*9/2),但是獨立的只有37種，我又截了一個圖反應(yīng)了不同的組合得到不同的c/a碼，這些碼起始相位就是衛(wèi)星的id了。 
c/a碼性質(zhì)：說c/a碼性質(zhì)，其實說的是gold碼性質(zhì)，或者是偽隨機(jī)碼性質(zhì)：相關(guān)性。理想的c/a碼需要有強(qiáng)的自相關(guān)性，幾乎為0的互相關(guān)性。其中，自相關(guān)性是說同一顆衛(wèi)星發(fā)出的c/a碼不同相位的序列相關(guān)；互相關(guān)性是指不同的衛(wèi)星發(fā)出的c/a碼的不同相位序列相關(guān)。下圖，就說明了c/a碼良好的相關(guān)性能。 
11. 幀數(shù)據(jù)介紹：（5.9~5.17以后再看！）
一旦得到上圖的載波，就可以用fft來求頻率。如果數(shù)據(jù)長度是1ms,那么fft的分辨率就是1khz。為什么呢？這樣好理解啊。1ms的時間，可以表示的周期最長的信號也是1ms,也就是說如果有一個信號周期是2ms,那么在1ms的時間內(nèi)只有半個周期，因此能表示的最小頻率就是1/1ms=1khz,這也是fft的分辨率，所謂分辨率就是最小可以表示的頻率。繼續(xù)討論FFT找載波頻率。如果采樣率5mhz,那么在1ms中就包含了5000個采樣點，因此就需要5000-point FFT。由于是實數(shù)輸入，那么這5000個FFT就是complex conjungate的，即：前面2500個點就包含了所有的信息。由于頻率分辨率是1khz,那么2500個點就可以表示2.5mhz的信息，這么看fft還是線性的，如果有的頻率變化快，有的頻率變化慢，這就不行了。突然感覺自己以前對dsp的理解太low了，只知道記公式，公式是美麗，但是物理意義才更美麗，這是題外話！剛才說可以表示2.5mhz的信息，但是我們其實關(guān)心的只是多普勒頻偏，而不是整個載頻，也就是20khz的范圍，那么顯然2.5mhz就太多了，因此：直接的方法就是只需要計算21個輸出值，用dft即可。這樣做的話，可以節(jié)省大量時間和能量，比如：輸入的c/a碼和本地的c/a碼在1ms內(nèi)需要做乘法，由于有5000個采樣點，每移動一次就要做5000次乘法和５5000-point FFT，所以需要做5000×5000次FFT，這么看數(shù)據(jù)量就太大了，而如果只做21-point DFT,那么就只需要5000*21次DFT。用上面的dft的方法，由于需要用本地產(chǎn)生的c/a碼和輸入的c/a碼每移動一位都做乘法和fft,然后找頻率的超過pre-defined threshold中的最大值，如果找到最大值，就可以把現(xiàn)在的本地的c/a碼的位置記錄下來，這就是c/a碼的開頭。而且，由于碼片的length是200ns,也就是說找到的c/a碼的開頭有200ns的分辨率，或者說200ns的誤差，而且由于整個data的長度是1ms,所以多普勒頻率的分辨率就是1khz. 這個思路可以很容易generalize: 現(xiàn)在我們考慮10ms的data，那么由于采樣率不變，所以時間分辨率還是200ns,但是由于10ms和1ms相比，允許周期更長的信號出現(xiàn)，即:最多可以有10ms為周期的信號，因此頻率分辨率就是100hz,能得到這個100hz的是要付出很大代價的，因為現(xiàn)在我們需要做50,000-pointFFT, 而之前只需要5000-point FFT，而fft長度增加10倍，復(fù)雜度增加會超過10倍，所以整個復(fù)雜度不是線性增加的！time domain correlation：這才是第二種方法，除了用fft來做，還可以用時域相關(guān)的方法來做。這個方法本地產(chǎn)生的c/a碼不再是簡單的c/a碼，還把RF信號加入在里面。由于采樣后的信號的載波是1.25mhz,那么考慮頻偏在+/-10khz,那么就有21中可能的RF信號可能性，所以本地產(chǎn)生的信號就是如下： 
其中，Cs代表24顆衛(wèi)星中某一顆的c/a碼，注意：這里都是認(rèn)為已知衛(wèi)星的c/a碼，只是不知道初始相位，fi代表不同的射頻頻率，如：1250-10,1250-9,1250-8,…,1250+10khz，也就是這些不同的頻率是考慮了多普勒。產(chǎn)生了這個本地信號后，仍然需要數(shù)字化成5mhz的數(shù)據(jù)，即：每1ms仍然是5000-point,這些點和輸入數(shù)據(jù)相關(guān)，所謂相關(guān)，就是乘累加，如果本地的c/a碼包含正確的c/a碼和正確的頻率，那么相關(guān)結(jié)果就會成高，產(chǎn)生一個峰值。如下圖： 
這個過程是這樣的，每200ns,輸入的數(shù)據(jù)就多收到一個，就把現(xiàn)在的5000個輸入的復(fù)數(shù)和local的5000個復(fù)數(shù)做相關(guān)得到的一個復(fù)數(shù)，把這個復(fù)數(shù)的幅度計算出來就代表現(xiàn)在的相關(guān)結(jié)果。所以，5000個數(shù)據(jù)輸入，就需要做5000次的這樣的乘法，也得到5000個幅度值，那么21路并行的處理，就得到21*5000個幅度值，選取最大并cross the threshold的值，此時對應(yīng)的fi就是接收到的信號的fi，此時的數(shù)據(jù)的起始相位就是Cs的相位。相位這個，怎么理解？由于已知24顆衛(wèi)星的c/a碼初始相位，所以上面的Cs的初始相位都是已知的固定的，所以需要移動接收到的射頻數(shù)據(jù)和本地的c/a碼做所有可能的嘗試，確實很傻，不過1ms內(nèi)最多嘗試5000次，總能試出來找到正確的相位，如果相關(guān)出現(xiàn)峰值，就說明此時接收到的信號的c/a碼的相位和本地的對齊，且接收到的c/a碼的初始相位就是我們實驗用的Cs的初始相位。繼續(xù)討論time domain correlation.這個方法本質(zhì)就是做dft，和fft相比，這個方法更快，因為只需要遍歷所有可能的相位和所有可能的頻率偏移的組合，按照邊界說，這個方法就是先找到解空間的具體的邊界，然后遍歷每一個可能的解，而之前基于FFT的方法則是盲計算，導(dǎo)致計算復(fù)雜度很高，所以好的方法總是搞清楚問題的邊界，就在邊界內(nèi)求解！由于時域相關(guān)的方法得到的結(jié)果頻率分辨率只有1khz,因為只用1ms的數(shù)據(jù)做dft,所以只有1khz.書上說，這個頻率還不夠精確，不能直接送到tracking program，還需要提高進(jìn)度，如何進(jìn)一步提高進(jìn)度？在section 7.10討論。拭目以待！繼續(xù)討論捕獲。現(xiàn)在介紹關(guān)于相關(guān)的一些基本知識：circular convolution and circular correlation. 圓周卷積和圓周相關(guān)。在連續(xù)時間域，有如下關(guān)系： 
也就是說：時域卷積，頻率相稱；頻域卷積，時域就相稱。你看，為啥叫卷積，因為還是個積，只是換了一個域，或者說換了一個觀察問題的角度。這個性質(zhì)在離散時間域也有類似的，但又不一樣，不是線性卷積，而是圓周卷積。相關(guān)和卷積也很相似，如下圖： 
稍微一看，就知道，卷積和相關(guān)就差一個符號，所以在頻域也很相似。再看下面公式，有個疑問，即使下面成立，也不能認(rèn)為相位關(guān)系也是這樣的吧，因為下面公式只表示了幅度關(guān)系。 
現(xiàn)在利用circular correlation來完成前面的time-domain相關(guān)。很簡單： 根據(jù)上面的公式，把輸入的1ms的5000點數(shù)據(jù)當(dāng)成x[n],用FFT得到X(k)，然后得到
繼續(xù)討論delay and multiplication的方法，為了說明問題，下面截圖就說明了delay如何選擇的問題，把復(fù)數(shù)信號換成實信號，指數(shù)就變成cos()，在(7-19)中，高頻可以濾波，最后剩下
現(xiàn)在來看這種delay乘的方法主要問題：由于上面表達(dá)式只表示了信號部分，沒有表示噪聲，實際上，噪聲也是要相乘的，所以結(jié)果是噪聲和噪聲相乘，引入更多的噪聲，也就是noise floor increase,信噪比就下降！因此，不能只依靠1ms的數(shù)據(jù)，在實際中，需要更長的數(shù)據(jù)。還有一個特性，如下圖。就是delay相乘后的新code對navigation data transition不再敏感，你看新的code只有2個bit受到影響，也就是2/5000的數(shù)據(jù)受到影響，因此影響可以忽略了。因此，不再受到之前討論的10ms數(shù)據(jù)長度的限制了，由于navigation data transition對新的code的影響變小，因此這個方法可以做到精度更高。 
理論上，1ms的數(shù)據(jù)就包含了完整的信息，就可以用來得到c/a碼的初始相位和載波多普勒頻偏。但實際中，都會通過采集處理長時間的信息來增加信號snr，提高頻率分辨率等。書上介紹了兩種方式： 第一種是non-coherent的，這個就簡單粗暴了。如果用2ms的數(shù)據(jù)，那么對每1ms分別處理，然后再求和。但是怎么相加？把誰和誰相加？這個沒講清楚，就說這么一加，信號功率變成兩倍，但噪聲功率只變成
首先
4.用laplace變換是為了計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移。需要復(fù)習(xí)為啥laplace變換可以這么牛！如下圖，
為了研究pll的性質(zhì)，書里采用了兩種不同的輸入如下圖。一種是輸入為階躍函數(shù)；另一種為調(diào)頻信號。 
上圖到底是傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，還是數(shù)字的結(jié)構(gòu)啊？先不管，來看兩個tracking loop如何交替的工作的。這個工作很有趣： 首先看c/a code loop,就是上圖的偏上面一個loop。，這個loop會產(chǎn)生三個輸出：一個early c/a碼，一個late c/a碼，還有就是prompt c/a碼，按照我的叫法就是on-time c/a碼。其中，只有最后的prompt碼才輸出給carrier loop使用。其他的early和late碼就是遲早門所需要的，用來調(diào)整時間是否對齊用的。所謂early和late碼是和prompt碼時間上早或晚半個chip的時間長度，我在看書的時候，剛開始以為是相差半個采樣周期呢，最后發(fā)現(xiàn)是相差半個c/a碼的長度，所以如果c/a碼的碼率是1.023m,那么半個碼片就是
。通常情況下，如果對輸入信號完全不知道，那么就需要計算所有的k值(0~N-1),然后比較求最大幅度的值，這就必須借助FFT減少計算次數(shù)；如果輸入信號的頻率知道一些，即：有1khz或100hz左右的分辨率也就是誤差啦，這時候，我們就沒必要計算所有的k值，完全可以根據(jù)目前的頻率值(有誤差)/頻率分辨率=k值，然后直接用dft計算一個
評論一下：這個方法確實絕了。fft只是explore一段時間內(nèi)頻率的分布，但是不同時間段頻率的變化就不能容易得到，所以用前后相繼的數(shù)據(jù)塊的相位變化就可以得到多普勒的變化，而且精度比fft還高，但這個方法必須是建立在fft基礎(chǔ)上，即：首先得有利用fft捕獲到粗分辨率的載波。也就是，fft和bass配合使用，而且不需要用反饋，就可以得到高精度的載波。問題：前面討論捕獲的時候，也提到了用相位之差來提高捕獲的精度的。需要對比一下！本質(zhì)都是一樣。
因此需要每次把這個不連續(xù)相位給扣除。具體的就不表！
如何調(diào)整這個early和late就可以提高時間精度呢？還得繼續(xù)看下面圖。圖中，顯示的相關(guān)函數(shù)峰是c/a碼自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)輸入的c/a碼和本地產(chǎn)生的c/a碼完全對齊，產(chǎn)生相關(guān)峰值1023,如果有偏移，無論左偏還是右偏，相關(guān)值都會變小，注意：由于c/a碼的碼率是1.023mhz,所以每個chip的長度是977.5ns，因此相關(guān)峰的物理意義就是往左移動977.5ns相關(guān)峰就為0，往右移動977.5ns也變成0。因此，我們讓early和late的c/a碼和prompt的c/a碼都相差2個采樣周期，即:d=400ns,這樣，我們通過同時把三組c/a碼和input的c/a碼相關(guān)得到三個值
現(xiàn)在可以討論如何提高時間精度了。如下圖: 
當(dāng)輸入的c/a碼開始位置比prompt的開始位置相差大于1/2個采樣周期(即：大于100ns)，那么可以如圖fig8.10這樣調(diào)整prompt往前一個采樣周期，這樣相位相差就小于100ns，也就是說可以把時間分辨率從200ns降低到100ns。為什么不能更小呢？現(xiàn)在舉例：如果極限情況下，輸入的c/a碼是采樣輸入的，但是采樣的位置和真實的位置剛好相差100ns,那么即使如何調(diào)整prompt，都是相差100ns.不可能更下的誤差了。這里需要說明的是，bass雖然是每個1ms都計算，但是并不是每個1ms都更新，而是10ms才更新，原因是，c/a碼的多普勒頻移最多6.4hz,所以沒16ms才會偏移100ns。因此，每10ms調(diào)整一次就足夠了！ 新聞熱點
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